Lời giải:
Dễ thấy $x,y$ phải cùng dấu, vì nếu không cùng dấu thì trong hai số $2^x$ hoặc $3^y$ sẽ tồn tại một số nguyên và một số không nguyên, khi đó hiệu sẽ không thể là $1$.
TH1: \(x,y>0\)
Vì \(3^y\equiv 0\pmod 3\Rightarrow 2^x-1\equiv 0\pmod 3\)
Mà \(2^x-1\equiv (-1)^x-1\pmod 3\)
Do đó, $x$ chẵn. Đặt \(x=2k (k\in\mathbb{Z}^+)\)
Ta có \(3^y=2^x-1=(2^k-1)(2^k+1)\). Khi đó tồn tại \(m,n\in\mathbb{N}|\)
\(\left\{\begin{matrix} 2^k-1=3^m\\ 2^k+1=3^n\end{matrix}\right.(m+n=y)\Rightarrow 3^n-3^m=2\)
Vì \(2\not\vdots 3\Rightarrow \) một trong hai số $m,n$ phải tồn tại một số bằng $0$
Hiển nhiên số bằng $0$ đó là \(m\)
\(\Rightarrow k=1\Rightarrow x=2\Rightarrow y=1\)
TH2:
Khi đó \(2^x< 1\Leftrightarrow 1+3^y< 1\Leftrightarrow 3^y< 0\) (vô lý với mọi số nguyên $y$)
Do đó TH này vô lý
Ta có cặp nghiệm \((x,y)=(2,1)\)
