Bài 3: Ôn tập chương Mặt nón, mặt trụ, mặt cầu

?

Một cái thùng hình trụ có đường kính 60 cm. Người ta đổ vào thùng một lượng nước cao 80 cm. Sau đó thả vào thùng một quả cầu sắt có đường kính bằng đường kính của thùng, lúc này mực nước trong thùng dâng lên cách miệng thùng 20 cm. Tính dung tích của thùng.

Chọn B

Gọi chiều cao thùng là x (dm)

Thể tích nước trong thùng: \(V_1=3^2.8.\pi=72\pi\left(lít\right)\)

Thể tích quả cầu:  \(V_2=\dfrac{4}{3}\pi.3^3=36\pi\left(lít\right)\)

\(\Rightarrow\left(x-2\right).3^2.\pi=72\pi+36\pi\)

\(\Rightarrow x=14\left(dm\right)\)

\(\Rightarrow V=14.3^2.\pi=396\left(lít\right)\)

Thể tích nước trong thùng: V1=32.8.π=72π(lít)V1=32.8.π=72π(lít)

Thể tích quả cầu:  

\(\Delta ABC\) đều cạnh là mấy a ? 

Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}SH\perp AB\left(gt\right)\\CH\perp AB\left(\Delta ABC\text{ đều}\right)\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow AB\perp\left(SCH\right)\Rightarrow AB\perp SC\)

Từ A kẻ AD vuông góc SC (D thuộc SC)

\(\Rightarrow SC\perp\left(ADB\right)\Rightarrow\widehat{ADB}\) là góc giữa (SAC) và (SBC)

\(\Rightarrow\widehat{ADB}=90^0\)

\(\Rightarrow DH=\dfrac{1}{2}AB\) (trung tuyến ứng với cạnh huyền)

Lại có \(CH=\dfrac{AB\sqrt{3}}{2}\) (trung tuyến tam giác đều)

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông SCH:

\(\dfrac{1}{DH^2}=\dfrac{1}{SH^2}+\dfrac{1}{CH^2}\Leftrightarrow\dfrac{4}{AB^2}=\dfrac{4}{3a^2}+\dfrac{4}{3AB^2}\)

\(\Rightarrow AB=a\sqrt{2}\)

\(\Rightarrow V=\dfrac{1}{3}SH.\dfrac{AB^2\sqrt{3}}{4}=\dfrac{a^3}{4}\)

2:

\(\widehat{B'C;\left(A'B'C'\right)}=45^0\)

=>\(\widehat{\left(B'C;B'C'\right)}=45^0\)

=>\(\widehat{C'B'C}=45^0\)

Xét ΔCC'B' vuông tại C' có \(\widehat{C'B'C}=45^0\)

nên ΔCC'B' vuông cân tại C'

=>CC'=B'C'=a*căn 2

Thể tích khối lăng trụ là:

\(V=S_{BAC}\cdot CC'=a\sqrt{2}\cdot\dfrac{1}{2}a^2=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\cdot a^3\)

Bài 1:

Vì mặt phẳng đi qua trục, cắt hình trụ theo thiết diện là hình vuông cạnh $a$ nên đây là hình trụ có chiều cao \(h=a\) và đường kính đáy \(2r=a\Rightarrow r=\frac{a}{2}\)

\(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} S_{xq}=2\pi rh=2\pi. \frac{a}{2}.a=\pi a^2\\ S_{\text{đáy}}=\pi r^2=\pi.(\frac{a}{2})^2=\frac{1}{4}\pi a^2\end{matrix}\right.\)

\(S_{tp}=S_{xq}+2S_{\text{đáy}}=\pi a^2+\frac{1}{2}\pi a^2=\frac{3}{2}\pi a^2\) (đvdt)

Bài 2:

\(S_{xq}=2\pi Rh=2\pi R.R\sqrt{3}=2\sqrt{3}\pi R^2\)

\(S_{\text{đáy}}=\pi R^2\)

\(\Rightarrow S_{tp}=S_{xq}+2S_{\text{đáy}}=2\sqrt{3}\pi R^2+2\pi R^2=2R^2\pi (\sqrt{3}+1)\)

Bài 3:

Vì mặt phẳng đi qua trục, cắt hình trụ theo thiết diện là hình vuông có cạnh $2R$ nên hình trụ đã cho là hình trụ có chiều cao \(h=2R\) và bán kính \(\frac{2R}{2}=R\)

\(S_{xq}=2\pi Rh=2\pi R. 2R=4\pi R^2\) (đvdt)

\(S_{\text{đáy}}=\pi R^2\) (đvdt)

\(\Rightarrow S_{tp}=S_{xq}+2S_{\text{đáy}}=4\pi R^2+2.\pi R^2=6\pi R^2\) (đvdt)

Lời giải:

Thể tích khối nón ban đầu:

\(V=\frac{1}{3}\pi r^2h\)

Thể tích khối nón lúc sau:

\(V'=\frac{1}{3}\pi r'^2h'=\frac{1}{3}\pi (6r)^2(\frac{h}{9})=\frac{4}{3}\pi r^2h\)

\(=4V\)