Bài 3: Ôn tập chương Mặt nón, mặt trụ, mặt cầu

Gọi phần cung tròn bị cắt có góc ở tâm bằng x độ \(\left(0< x< 360\right)\)

Chu vi đường tròn ban đầu: \(2\pi R\)

Chu vi sau khi bị cắt: \(2\pi R\left(1-\dfrac{x}{360}\right)\)

(Và lưu ý chu vi này đúng bằng chu vi đường tròn đáy hình nón được tạo ra, đường sinh nón bằng R)

Gọi đáy nón có bán kính \(r\)

\(\Rightarrow2\pi r=2\pi R\left(1-\dfrac{x}{360}\right)\Rightarrow r=R\left(1-\dfrac{x}{360}\right)\)

\(\Rightarrow V_{nón}=\dfrac{1}{3}\pi r^2.\sqrt{R^2-r^2}=f\left(x\right)\)

Giờ chắc khảo sát hàm \(f\left(x\right)\) tìm x là được

- Nếu H nằm ở nửa dưới đoạn SO thì \(R\ge\dfrac{SO}{2}=\dfrac{3}{2}\)

- Nếu H nằm ở nửa trên đoạn SO, thực hiện mặt cắt qua trục nón như hình vẽ

\(SO=OA=3\Rightarrow SOA\) vuông cân \(\Rightarrow SCH\) vuông cân

\(\Rightarrow CH=SH=3-OH=3-\left(R+IH\right)=3-R-\sqrt{R^2-CH^2}\)

\(\Rightarrow3-R=CH+\sqrt{R^2-CH^2}\le\sqrt{2\left(CH^2+R^2-CH^2\right)}=R\sqrt{2}\)

\(\Rightarrow R\left(\sqrt{2}+1\right)\ge3\Rightarrow R\ge\dfrac{3}{\sqrt{2}+1}=3\left(\sqrt{2}-1\right)\)

\(V_{min}=\dfrac{4}{3}\pi R_{min}^3=8,037\) 

Giả sử lượng bia ban đầu được chứa đầy trong lon.

Thể tích bia còn lại trong lon: V₁ = \(\pi\)3²h = 9\(\pi\)h.

Thể tích bia trong ly sau khi đạt chiều cao h: V₂ = \(\pi\)h/3.(R²+2²+2R).

Ta có: tan\(\alpha\)=2/15=(R-2)/h, suy ra R=2/15.h+2.

Suy ra V₂ = 4\(\pi\)/3.(h³/225+h²/5+3h).

9\(\pi\)h + 4\(\pi\)/3.(h³/225+h²/5+3h) = \(\pi\)3².15 \(\Leftrightarrow\) 4h³+180h²+8775h-91125=0 \(\Rightarrow\) h gần bằng 8,58 (cm).

Chọn D.

Bán kính đáy hình nón là a\(\sqrt{3}\)/3.

Diện tích xung quanh của hình nón cần tìm là \(\pi\).a\(\sqrt{3}\)/3.a = \(\pi\)a²\(\sqrt{3}\)/3.

Hình 1 không phải là hình đa diện.

Chọn D.