Bài 3: Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế

a) Phương trình có nghiệm kép khi:

\(\Delta'=\)m²-5(-2m+15)=m²+10m-75=0

\(\Leftrightarrow\)(m-5)(m+15)=0

\(\Leftrightarrow\)\(\left[{}\begin{matrix}m=5\\m=-15\end{matrix}\right.\)

b) Phương trình có 2 nghiệm phân biệt khi:

\(\Delta'=m^2+10m-75\ge0\)

\(\rightarrow\)(m-5)(m+15)\(\ge\)0

\(\rightarrow\)-15\(\le\)m\(\le\)5

có 2 nghiệm phân biệt \(\Delta'>0suyra-15< m< 5\)

Lời giải:

HPT \(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \frac{1}{z}=-\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)\\ \frac{2}{xy}-\frac{1}{z^2}=4\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} \frac{1}{z^2}=\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{2}{xy}\\ \frac{2}{xy}-\frac{1}{z^2}=4\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow \frac{2}{xy}-\left(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{2}{xy}\right)=4\)

\(\Leftrightarrow -\left(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}\right)=4>0\Rightarrow \frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}< 0\) (vô lý)

Do đó không tồn tại $x,y,z$ kéo theo không tồn tại giá trị của P

Ta có:

\(a+b=\dfrac{1}{6}\)

<=> \(a=\dfrac{1}{6}-b\) (*)

Thay (*) vào phương trình 2 ta có:

\(2\left(\dfrac{1}{6}-b\right)+2b=\dfrac{2}{5}\)

<=> \(\dfrac{1}{3}-2b+2b=\dfrac{2}{5}\)

<=> \(\dfrac{1}{3}=\dfrac{2}{5}\) ( vô lí)

Vậy hệ phương trình bậc nhất hai ẩn này vô nghiệm

hệ\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a+b=\dfrac{1}{6}\\a+b=\dfrac{1}{5}\end{matrix}\right.\)(vô lí)

\(\Rightarrow\)hệ vô nghiệm

\(\left\{{}\begin{matrix}xy-2x-y=2\\yz-3y-2z=3\\xz-3x-z=13\end{matrix}\right.\)

Dễ thấy \(z=3\) không phải là nghiệm của hệ.

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x.\dfrac{3+2z}{z-3}-2x-\dfrac{3+2z}{z-3}=2\\y=\dfrac{3+2z}{z-3}\\xz-3x-z=13\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{4z-3}{9}\\y=\dfrac{3+2z}{z-3}\\z.\dfrac{4z-3}{9}-3.\dfrac{4z-3}{9}-z=13\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{4z-3}{9}\\y=\dfrac{3+2z}{z-3}\\z^2-6z-27=0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{4z-3}{9}\\y=\dfrac{3+2z}{z-3}\\\left(z-9\right)\left(z+3\right)=0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}z=9\\x=\dfrac{11}{3}\\y=\dfrac{7}{2}\end{matrix}\right.\) hoặc \(\left\{{}\begin{matrix}z=-3\\x=-\dfrac{5}{3}\\y=\dfrac{1}{2}\end{matrix}\right.\)

\(2x^2+x+3=3x\sqrt{x+3}\)

ĐK:\(x\ge -3\)

\(pt\Leftrightarrow4x^4+4x^3+13x^2+6x+9=9x^2\left(x+3\right)\)

\(\Leftrightarrow4x^4-5x^3-14x^2+6x+9=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(4x+3\right)\left(x^2-x-3\right)\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=1\\x=\dfrac{\sqrt{13}+1}{2}\end{matrix}\right.\) (thỏa)

\(\sqrt{\dfrac{x+56}{16}+\sqrt{x-8}}=\dfrac{x}{8}\) (1). Điều kiện: \(x\ge8\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{\dfrac{x-8}{16}+2\times2\times\dfrac{\sqrt{x-8}}{4}+4}=\dfrac{x}{8}\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{\left(\dfrac{\sqrt{x-8}}{4}+2\right)^2}=\dfrac{x}{8}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{\sqrt{x-8}}{4}+2=\dfrac{x}{8}\) \(\left(\dfrac{\sqrt{x-8}}{4}+2\ge\dfrac{9}{4}>0\right)\)

\(\Leftrightarrow2\sqrt{x-8}+16=x\)

\(\Leftrightarrow x-8-2\sqrt{x-8}+1=9\)

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{x-8}-1\right)^2=9\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{x-8}-1=3\) \(\left(\sqrt{x-8}-1\ge-1>-3\right)\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{x-8}=4\)

\(\Leftrightarrow x=24\left(\text{nhận}\right)\)

Vậy (1) có tập n_o \(S=\left\{24\right\}\).

Đây nek Câu hỏi của nguyen don - Toán lớp 9 - Học toán với OnlineMath

+> Lấy (x + y + z)^2 = x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2xz = 1+2xy+2yz+2xz Mà (x + y + z)^2 = 1 => 2xy+2yz+2xz = 0 => xy+yz+xz = 0 => (xy+yz+xz)(x + y + z) = 0 +> Lấy (x + y + z)^3 = x^3 + y^3 + z^3 + 6xyz + 3xy^2 + 3x^2y + 3x^2z + 3xz^2 + 3yz^2 + 3y^2z = 1 + 6xyz + 3xy^2 + 3x^2y + 3x^2z + 3xz^2 + 3yz^2 + 3y^2z Mà (x + y + z)^3 = 1 => 6xyz + 3xy^2 + 3x^2y + 3x^2z + 3xz^2 + 3yz^2 + 3y^2z = 0 => 6xyz + 3(xy^2 + x^2y + x^2z + xz^2 + yz^2 + y^2z) = 0 => 6xyz + 3[xy(x+y) + xz(x+z) + yz(y+z)] = 0 => 6xyz + 3[xy(1-z) + xz(1-y) + yz(1-x)] = 0 => 6xyz + 3(xy - xyz + xz - xyz + yz - xyz) = 0 Mà xy+yz+xz = 0 => 6xyz - 9xyz = 0 => xyz = 0 Mà (xy+yz+xz)(x + y + z) = 0 => (xy+yz+xz)(x + y + z) = xyz => (xy+yz+xz)(x+y+z) - xyz = 0

Phân tích đa thức trên thành nhân tử, ta có (x+y)(y+z)(x+z) = 0 => x+y = 0 ; y+z = 0 ; x+z = 0 Có x^2017 + y^2017 + z^2017 = (x+y)(x^2017 -x^2016y+...+y^2017) + z^2017 (1)

= z^ 2017 Có x+y = 0 => x = -y => (x + y + z )^2017 = z^2017 (2)

Từ (1) và (2) = > x^2017 + y^2017 + z^2017 = (x + y + z )^2017 = 1

+ (d): ax-8y=b ⇒ (d): 8y = ax-b

Ta có: (d): 8y=ax-b đi qua M(9; -6)

⇒ thay \(\left\{{}\begin{matrix}x=9\\y=-6\end{matrix}\right.\) vào 8y = ax-b, ta được:

8 *(-6) = 9a-b ⇔ - 48 = 9a-b (*)

+ (d1): 2x+5y=17 ⇒ (d1): 5y= -2x+17

(d2) : 2x-5y=7 ⇒ 5y=2x-7

Ta có phương trình hoành độ giao điểm của (d1) và (d2):

-2x+17 = 2x-7 ⇔ 4x=24 ⇔ x=6

⇒ y= 1

Gọi N là giao điểm của (d1) và (d2), ta có: N(6;1)

⇒ thay \(\left\{{}\begin{matrix}x=6\\y=1\end{matrix}\right.\) vào 8y = ax -b, ta được: 8= 6a-b (**)

Từ (*) và (**), ta có hpt:

\(\left\{{}\begin{matrix}-48=9a-b\\8=6a-b\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}3a=-56\\b=6a-8\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=-\dfrac{56}{3}\\b=-120\end{matrix}\right.\)

Vậy \(\left\{{}\begin{matrix}a=-\dfrac{56}{3}\\b=-120\end{matrix}\right.\)