Bài 2: Tích phân

Lời giải:

\(\int ^{1}_{0}x^2dx=\left.\begin{matrix} 1\\ 0\end{matrix}\right|\frac{x^3}{3}=\frac{1}{3}; \int ^{1}_{0}x^3dx=\left.\begin{matrix} 1\\ 0\end{matrix}\right|\frac{x^4}{4}=\frac{1}{4}\)

\(\frac{1}{3}>\frac{1}{4}\Rightarrow A\) đúng.

Câu B. Xét về mặt điều kiện thì với \(x>0\Rightarrow \frac{1}{x+1}\) luôn có nghĩa, lúc này hàm số mới có tích phân được.

Xét theo định nghĩa nguyên hàm thì luôn đúng vì \(F(x)=\int f(x)dx\Leftrightarrow f(x)=F'(x)\)

Câu D.

\(\int ^b_af(x)dx+\int ^c_bf(x)dx=F(b)-F(a)+F(c)-F(b)\)

\(=F(c)-F(a)=\int ^c_af(x)dx\)

Do đó D đúng.

Do đó câu C sai.

Nếu \(\int ^a_{-a}f(x)dx=2\int ^{a}_0f(x)dx\)

\(\Leftrightarrow F(a)-F(-a)=2F(a)-2F(0)\)

\(\Leftrightarrow F(a)+F(-a)=2F(0)\)

Giả sử cho \(F(x)=x^2\), \(a\neq 0\)thì điều trên hiển nhiên vô lý

Do đó C sai.

đặt t=\(t=\sqrt[3]{1+\ln^2x}=>t^3=1+\ln^2x=>3t^2dt=\dfrac{2lnxdx}{x}=>\dfrac{lnxdx}{x}=\dfrac{3t^2}{2}dt=>\int\dfrac{3t^2tdt}{2}=\dfrac{3t^4}{8}+c\)https://www.youtube.com/channel/UCzeAuHrGhk8hUszunoNtayw

các em vào link này để luyện thi thpt quốc gia miễn phí 100% nhé. cảm ơn các em.Thầy Hòa

Lời giải:

Ta có:

\(I=\int (\sin x)^{2016}\cos (2018x)dx=\int (\sin x)^{2016}\cos (2017x+x)dx\)

\(=\int \sin ^{2016}x\cos (2017x)\cos xdx-\int \sin ^{2017}x\sin (2017x)dx\)

(Khai triển theo công thức lượng giác \(\cos (a+b)=\cos a\cos b-\sin a\sin b\) )

Thực hiện nguyên hàm từng phần:

\(\left\{\begin{matrix} u=\cos (2017x)\\ dv=\sin ^{2016}x\cos xdx\end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} du=-2017\sin (2017x)dx\\ v=\int \sin ^{2016}x\cos xdx=\int \sin ^{2016}xd(\sin x)=\frac{\sin ^{2017}x}{2017}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow \int \sin ^{2016}x\cos (2017x)\cos xdx=\frac{\sin ^{2017}x\cos (2017x)}{2017}+\int \sin ^{2017}x\sin (2017x)dx \)

Suy ra:

\(I=\frac{\sin ^{2017}x\cos (2017x)}{2017}+\int \sin ^{2017}x\cos (2017x)dx-\int \sin ^{2017}x\cos (2017x)dx\)

\(=\frac{\sin ^{2017}x\cos (2017x)}{2017}\)

\(\Rightarrow \int ^{a}_{0}\sin ^{2016}x\cos (2018x)dx=\frac{\sin ^{2017}a\cos (2017a)}{2017}\)

Yêu cầu đề bài là gì hả bạn?

\(\int_0^2\left[4f_{\left(x\right)}-3\right]dx\)

= \(4\int_0f_{\left(x\right)}^2dx-3x|^2_0\)

= 12 - 6

= 6

Chọn B

Chọn B

Chọn B

Lời giải:

Ta có:

\(\int ^{\frac{\pi}{2}}_{0}\frac{\sin x}{(\sin x+\cos x)^3}dx=\int ^{\frac{\pi}{2}}_{\frac{\pi}{4}}\frac{\sin x}{(\sin x+\cos x)^3}dx+\int ^{\frac{\pi}{4}}_{0}\frac{\sin x}{(\sin x+\cos x)^3}dx\)

\(=A+B\)

Xét riêng rẽ:

\(A=\int ^{\frac{\pi}{2}}_{\frac{\pi}{4}}\frac{\sin^3 x}{(\sin x+\cos x)^3}.\frac{dx}{\sin ^2x}=\int ^{\frac{\pi}{2}}_{\frac{\pi}{4}}\frac{1}{\left(\frac{\sin x+\cos x}{\sin x}\right)^3}d(-\cot x)\)

\(=\int ^{\frac{\pi}{2}}_{\frac{\pi}{4}}\frac{1}{(\cot x+1)^3}d(-\cot x)=-\int ^{\frac{\pi}{2}}_{\frac{\pi}{4}}\frac{d(\cot x+1)}{(\cot x+1)^3}\)

\(=\left.\begin{matrix} \frac{\pi}{2}\\ \frac{\pi}{4}\end{matrix}\right|\frac{1}{2(\cot x+1)^2}=\frac{3}{8}\)

\(B=\int ^{\frac{\pi}{4}}_{0}\frac{\sin x+\cos x-\cos x}{(\sin x+\cos x)^3}dx\)\(=\int ^{\frac{\pi}{4}}_{0}\frac{ 1}{(\sin x+\cos x)^2}dx-\int ^{\frac{\pi}{4}}_{0}\frac{\cos x}{(\sin x+\cos x)^3}dx\)

\(=\int ^{\frac{\pi}{4}}_{0}\frac{1}{\left(\frac{\sin x+\cos x}{\cos x}\right)^2}.\frac{dx}{\cos ^2x}-\int ^{\frac{\pi}{4}}_{0}\frac{1}{\left(\frac{\sin x+\cos x}{\cos^3 x}\right)^3}.\frac{dx}{\cos ^2x}\)

\(=\int ^{\frac{\pi}{4}}_{0}\frac{d(\tan x)}{(\tan x+1)^2}-\int ^{\frac{\pi}{4}}_{0}\frac{d(\tan x)}{(\tan x+1)^3}\)

\(=\int ^{\frac{\pi}{4}}_{0}\frac{d(\tan x+1)}{(\tan x+1)^2}-\int ^{\frac{\pi}{4}}_{0}\frac{d(\tan x+1)}{(\tan x+1)^3}\)

\(=\left.\begin{matrix} \frac{\pi}{4}\\ 0\end{matrix}\right|\frac{-1}{\tan x+1}+\left.\begin{matrix} \frac{\pi}{4}\\ 0\end{matrix}\right|\frac{1}{2(\tan x+1)^2}=\frac{1}{8}\)

Do đó: \(\int ^{\frac{\pi}{2}}_{0}\frac{\sin x}{(\sin x+\cos x)^3}dx=\frac{3}{8}+\frac{1}{8}=\frac{1}{2}\)

Sở dĩ phải chia tích phân thành tổng nhỏ như vậy là do khi ta thực hiện chia sin x xuống dưới mẫu thì hàm số không liên tục trong đoạn \([\frac{\pi}{2}; 0]\)