§1. Đại cương về phương trình

Phương trình đã cho tương đương : 

                            \(x^2-3x+2+2^x\left(x-2\right)=0\)

\(\left(x-1\right)\left(x-2\right)+2^x\left(x-2\right)=0\Leftrightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}x=2\\2^x+x-1=0\end{array}\right.\)

Xét hàm số : \(f\left(x\right)=2^x+x-1;f'\left(x\right)=2^x\ln2+1>0,x\in R\)

Vậy \(f\left(x\right)\) đồng biến trên R. Lại có \(f\left(0\right)=0\) nên phương trình \(f\left(x\right)=0\) có nghiệm duy nhất \(x=0\)

Vậy phương trình có 2 nghiệm \(x=0;x=2\)

\(\Leftrightarrow2^{\cos2x-1}\left(2\cos x-1\right)=2\cos^2x\left(2\cos x-1\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(2\cos x-1\right)\left(2^{\cos2x}-2\cos^2x\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}\cos x=\frac{1}{2}\\2^{\cos2x}=\cos2x+1\end{array}\right.\)

* Với \(\cos x=\frac{1}{2}\) ta có \(x=\frac{\pi}{3}=k2\pi,k\in Z\)

* Với \(2^{\cos2x}=\cos2x+1\) (*), đặt \(t=\cos2x;t\in\left[-1;1\right]\)

Phương trình trở thành \(2^t-t-1=0\)

Xét hàm số \(f\left(t\right)=2^t-t-1,t\in\left[-1;1\right]\)

Có \(f'\left(t\right)=2^t\ln2-1,t\in\left[-1;1\right];f'\left(t\right)=0\) có đúng 1 nghiệm  nên phương trình \(f\left(t\right)=0\) có tối đa 2 nghiệm. Mà \(f\left(0\right)=f\left(1\right)=0\) nên \(t=0;t=1\) là tất cả các nghiệm của phương trình \(f\left(t\right)=0\)

Do đó phương trình (*) \(\Leftrightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}\cos2x=0\\\cos2x=1\end{array}\right.\)\(\Leftrightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}x=\frac{\pi}{4}+k\frac{\pi}{2}\\x=k\pi\end{array}\right.\) \(k\in Z\)

Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm là :

\(x=\frac{\pi}{3}+k2\pi;x=\frac{\pi}{4}+k\frac{\pi}{2};x=k\pi;k\in Z\)

Phương trình đã cho tương đương với : 

\(\left(2^{2^x}-2^{x+1}\right)+\left(3^{2^x}-3^{x+1}\right)=x+1-2^x\)

Ta xét các trường hợp sau :

* Nếu \(2^x>x+1\) thì \(2^{2^x}-2^{x+1}>0;3^{2^x}-3^{x+1}>0;x+1-2^x< 0\) nên phương trình đã cho không thỏa mãn.

* Nếu \(2^x< x+1\) thì \(2^{2^x}-2^{x+1}< 0;3^{2^x}-3^{x+1}< 0;x+1-2^x>0\) nên phương trình đã cho không thỏa mãn.

* Nếu \(2^x=x+1\) thì phương trình đã cho thỏa mãn và khi đó nghiệm của nó cũng là nghiệm của \(2^x=x+1\)

Xét hàm số \(f\left(t\right)=2^t-\left(t+1\right)\) ta thấy \(f'\left(t\right)=2^t.\ln2-1;f"\left(t\right)=2^t\left(\ln2\right)^2>0\) nên phương trình  có không quá 2 nghiệm phân biệt

Ta lại thấy \(f\left(0\right)=f\left(1\right)=0\) nên phương trình \(f\left(t\right)=0\) có đúng 2 nghiệm là 0 và 1

Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm là \(x=0;x=1\)

\(\Leftrightarrow7.2^x=13.3^x\Leftrightarrow\left(\frac{3}{2}\right)^x=\frac{7}{13}\Leftrightarrow x=\log_{\frac{3}{2}}\frac{7}{13}\)

Đặt t=\(x+\frac{5+3}{2}=x+4\)

PT trên trở thành:

(t+1)⁴+(t-1)⁴=16

<=>2t⁴+12t²+2=16

<=>2t⁴+12t²-14=0(1)

Đặt y=t²(y\(\ge\) 0)=> PT(1) trở thành: 2y²+12y-14=0(2)

Ta có: a+b+c=2+12-14=0

=>PT(2) có 2 nghiệm phân biệt: \(y_1=1\left(nhận\right);y_2=-7\left(loại\right)\)

y=1 =>t²=1 =>t=1 hoặc t=-1

Với t=1 =>x=-3 

Với t=-1 =>x=-5

Vậy S={-3;-5}

Đặt \(t=x+4\), phương trình ban đầu trở thành :

\(\left(t+1\right)^4+\left(t-1\right)^4=16\Leftrightarrow t^4+6t^2-7=0\)

                                     \(\Leftrightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}t^2=1\\t^2=-7\end{array}\right.\)

Phương trình \(t^2=-7\) vô nghiệm

Phương trình \(t^2=1\) cho ta 2 nghiệm \(t=1;t=-1\) do đó :

Phương trình ban đầu \(\Leftrightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}x+4=-1\\x+4=1\end{array}\right.\)

                                 \(\Leftrightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}x=-5\\x=-3\end{array}\right.\)

Dễ thấy \(x=0\) không là nghiệm của phương trình. Ta có "

\(\left(x+1\right)\left(x+2\right)\left(x+3\right)\left(x+6\right)=168x^2\Leftrightarrow\left(x^2+7x+6\right)\left(x^2+5x+6\right)=168x^2\)

                                                          \(\Leftrightarrow\left(x+\frac{6}{x}+7\right)\left(x+\frac{6}{x}+5\right)=168\)

Đặt \(t=x+\frac{6}{x}\) ta được :

\(\left(x+1\right)\left(x+2\right)\left(x+3\right)\left(x+6\right)=168x^2\Leftrightarrow\left(t+7\right)\left(t+5\right)=168\)

                                                          \(\Leftrightarrow t^2+12t-133=0\Leftrightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}t=7\\t=-19\end{array}\right.\)

Do vậy :

\(\left(x+1\right)\left(x+2\right)\left(x+3\right)\left(x+6\right)=168x^2\Leftrightarrow\begin{cases}x+\frac{6}{x}=7\\x+\frac{6}{x}=-19\end{cases}\)

                                                          \(\Leftrightarrow\begin{cases}x^2-7x+6=0\\x^2+19x+6=0\end{cases}\)

                                                          \(\Leftrightarrow\begin{cases}x=1\\x=6\\x=\frac{-19\pm\sqrt{337}}{2}\end{cases}\)

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm :

\(\left\{1;6;\frac{-19-\sqrt{337}}{2};\frac{-19+\sqrt{337}}{2}\right\}\)

\(\left(x+1\right)\left(x+2\right)\left(x+3\right)\left(x+6\right)=168x^2\)

<=>\(\left(x+1\right)\left(x+6\right)\left(x+2\right)\left(x+3\right)=168x^2\)

<=>\(\left(x^2+7x+6\right)\left(x^2+5x+6\right)=168x^2\)(1)

Đặt t=x²+5x+6

PT (1) trở thành: (t+2x)t=168x²

<=>t²+2tx-168x²=0

<=>t²-12tx+14tx-168x²=0

<=>t.(t-12x)+14x.(t-12x)=0

<=>(t-12x)(t+14x)=0

<=>t-12x=0 hoặc t+14x=0

*t-12x=0 (thích giải denta cũng được)

<=>x²-7x+6=0

<=>x²-x-6x+6=0

<=>x.(x-1)-6.(x-1)=0

<=>(x-1)(x-6)=0

<=>x=1 hoặc x=6

*t+14x=0

<=>x²+19x+6=0

Giải denta là vừa tại số lớn lắm tự làm típ ..............

nốt cao hơn nốt đố là nốt rế.

Chúc bạn học tốt

Nốt sì nhé

nốt rế

Điều kiện \(x\ge0\) khi đó phương trình đã cho :

       \(\Leftrightarrow\left[\left(2x+1\right)+3x\right]\sqrt{2x+1}-\left[3\left(2x+1\right)+x\right]\sqrt{x}=1\) (a)

Đặt \(u=\sqrt{2x+1};v=\sqrt{x}\) thay vào (2) ta được :

\(\left(u^2+3v^2\right)u-\left(3u^2+v^2\right)v=1\)

\(\Leftrightarrow u^3-3u^2v+3uv^2-v^3=1\)

\(\Leftrightarrow\left(u-v\right)^3=1\)

\(\Leftrightarrow u-v=1\)

\(\Leftrightarrow u=v+1\)

Vậy :

\(\sqrt{2x+1}=\sqrt{x}+1\)

\(\Leftrightarrow2x+1=x+2\sqrt{x}+1\)

\(\Leftrightarrow2\sqrt{x}=x\)

\(\Leftrightarrow4x=x^2\)

\(\Leftrightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}x=0\\x=4\end{array}\right.\) (Thỏa mãn điều kiện)

Đáp số : \(x=0;x=4\)

Tập xác định : D=R. Phương trình đã cho tương đương với :

\(\frac{1}{8}\left(4x-4\right)^2-\frac{7}{4}\left(4x-4\right)+12-3\sqrt[3]{4x-4}=0\)  (1)

Đặt \(t=\sqrt[3]{4x-4}\) thay vào phương trình (1) ta có :

\(t^6-14t^3-24t+96=0\)

hay :

\(\left(t-2\right)^2\left(t^4+4t^3+12t^2+18t+24\right)=0\)  (2)

Nếu \(t\le0\) thì \(t^6-14t^3-24t+96>0\)

Nếu t > 0 thì \(t^4+4t^3+12t^2+18t+24>0\)

Do đó (2) <=> \(t=2\Rightarrow x=3\)

@Võ Hồng Phúc

@Võ Hồng Phúc