Điều kiện \(x\ge0\) khi đó phương trình đã cho :
\(\Leftrightarrow\left[\left(2x+1\right)+3x\right]\sqrt{2x+1}-\left[3\left(2x+1\right)+x\right]\sqrt{x}=1\) (a)
Đặt \(u=\sqrt{2x+1};v=\sqrt{x}\) thay vào (2) ta được :
\(\left(u^2+3v^2\right)u-\left(3u^2+v^2\right)v=1\)
\(\Leftrightarrow u^3-3u^2v+3uv^2-v^3=1\)
\(\Leftrightarrow\left(u-v\right)^3=1\)
\(\Leftrightarrow u-v=1\)
\(\Leftrightarrow u=v+1\)
Vậy :
\(\sqrt{2x+1}=\sqrt{x}+1\)
\(\Leftrightarrow2x+1=x+2\sqrt{x}+1\)
\(\Leftrightarrow2\sqrt{x}=x\)
\(\Leftrightarrow4x=x^2\)
\(\Leftrightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}x=0\\x=4\end{array}\right.\) (Thỏa mãn điều kiện)
Đáp số : \(x=0;x=4\)
