Bài tập cuối chương 2

Hướng dẫn giải

 

a)

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}5{u_1} + 10{u_5} = 0\\{S_4} = 14\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}5{u_1} + 10\left( {{u_1} + 4{\rm{d}}} \right) = 0\\\frac{{4\left( {2{u_1} + 3{\rm{d}}} \right)}}{2} = 14\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}5{u_1} + 10{u_1} + 40{\rm{d}} = 0\\2\left( {2{u_1} + 3{\rm{d}}} \right) = 14\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}15{u_1} + 40{\rm{d}} = 0\\2{u_1} + 3{\rm{d}} = 7\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 8\\d =  - 3\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) có số hạng đầu \({u_1} = 8\) và công sai \(d =  - 3\).

b)

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}{u_7} + {u_{15}} = 60\\u_4^2 + u_{12}^2 = 1170\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left( {{u_1} + 6{\rm{d}}} \right) + \left( {{u_1} + 14{\rm{d}}} \right) = 60\\{\left( {{u_1} + 3{\rm{d}}} \right)^2} + {\left( {{u_1} + 11{\rm{d}}} \right)^2} = 1170\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} + 6{\rm{d}} + {u_1} + 14{\rm{d}} = 60\\{\left( {{u_1} + 3{\rm{d}}} \right)^2} + {\left( {{u_1} + 11{\rm{d}}} \right)^2} = 1170\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2{u_1} + 20{\rm{d}} = 60\\{\left( {{u_1} + 3{\rm{d}}} \right)^2} + {\left( {{u_1} + 11{\rm{d}}} \right)^2} = 1170\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} + 10{\rm{d}} = 30\left( 1 \right)\\{\left( {{u_1} + 3{\rm{d}}} \right)^2} + {\left( {{u_1} + 11{\rm{d}}} \right)^2} = 1170\left( 2 \right)\end{array} \right.\end{array}\)

\(\left( 1 \right) \Leftrightarrow {u_1} = 30 - 10{\rm{d}}\) thế vào (2) ta được:

\(\begin{array}{l}{\left( {30 - 10{\rm{d}} + 3{\rm{d}}} \right)^2} + {\left( {30 - 10{\rm{d}} + 11{\rm{d}}} \right)^2} = 1170 \Leftrightarrow {\left( {30 - 7{\rm{d}}} \right)^2} + {\left( {30 + {\rm{d}}} \right)^2} = 1170\\ \Leftrightarrow 900 - 420{\rm{d}} + 49{{\rm{d}}^2} + 900 + 60{\rm{d}} + {d^2} = 1170 \Leftrightarrow 50{{\rm{d}}^2} - 360{\rm{d}} + 630 = 0\\ \Leftrightarrow 5{{\rm{d}}^2} - 36{\rm{d}} + 63 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}d = 3\\d = \frac{{21}}{5}\end{array} \right.\end{array}\)

Với \(d = 3 \Leftrightarrow {u_1} = 30 - 10.3 = 0\).

Với \(d = \frac{{21}}{5} \Leftrightarrow {u_1} = 30 - 10.\frac{{21}}{5} =  - 12\).

Vậy có hai cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) thoả mãn:

‒ Cấp số cộng có số hạng đầu \({u_1} = 0\) và công sai \(d = 3\).

‒ Cấp số cộng có số hạng đầu \({u_1} =  - 12\) và công sai \(d = \frac{{21}}{5}\).

(Trả lời bởi Hà Quang Minh)

Hướng dẫn giải

a) \(\left\{ \begin{array}{l}{u_5} = 96\\{u_6} = 192\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1}.{q^4} = 96\\{u_1}.{q^5} = 192\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1}.{q^4} = 96\\\left( {{u_1}.{q^4}} \right).q = 192\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1}.{q^4} = 96\\96q = 192\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}q = 2\\{u_1} = 6\end{array} \right.\)

Vậy cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right)\) có số hạng đầu \({u_1} = 6\) và công bội \(q = 2\).

b)

\(\left\{ \begin{array}{l}{u_4} + {u_2} = 60\\{u_5} - {u_3} = 144\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1}.{q^3} + {u_1}.q = 60\\{u_1}.{q^4} - {u_1}.{q^2} = 144\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1}.q\left( {{q^2} + 1} \right) = 60\left( 1 \right)\\{u_1}.{q^2}\left( {{q^2} - 1} \right) = 144\left( 2 \right)\end{array} \right.\)

Do \({u_1} = 0\) và \(q = 0\) không là nghiệm của hệ phương trình nên chia vế với vế của (2) cho (1) ta được:

\(\frac{{q\left( {{q^2} - 1} \right)}}{{{q^2} + 1}} = \frac{{144}}{{60}} \Leftrightarrow \frac{{q\left( {{q^2} - 1} \right)}}{{{q^2} + 1}} =\frac{{12}}{{5}} \Leftrightarrow 5q\left( {{q^2} - 1} \right) = 12\left( {{q^2} + 1} \right)\)

\( \Leftrightarrow 5{q^3} - 12q = 5{q^2} + 12 \Leftrightarrow 5{q^3} - 12{q^2} - 5q - 12 = 0 \Leftrightarrow q=3\) thế vào (1) ta được \({u_1}=2\).

Vậy cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right)\) có số hạng đầu \({u_1} = 2\) và công bội \(q = 3\).

(Trả lời bởi Hà Quang Minh)

Hướng dẫn giải

Mỗi năm số cá thể của quần thế này tăng: \(12\%-2\%-8\%=2\%\)

Giả sử số cá thể của quần thể đó là dãy số \(\left(u_n\right)\) với \(u_1=110000\)

Ta có: 

\(u_1=110000\\ u_2=u_1+u_1\cdot\dfrac{2}{100}=u_1\cdot1,02\\ u_3=u_2+u_2\cdot\dfrac{2}{100}=u_2\cdot1,02\\ ...\\ u_n=u_{n-1}+u_{n-1}\cdot\dfrac{2}{100}=u_{n-1}\cdot1,02\)

Vậy số cá thể của quần thể đó tạo thành cấp số nhân với số hạng đầu \(u_1=110000\) và công bội \(q=1,02\)

Số cá thể của quần thể đó sau 2 năm là: \(u_3=u_1\cdot q^2=110000\cdot1,02^2=114444\) (cá thể)

(Trả lời bởi Hà Quang Minh)

Hướng dẫn giải

Giả sử tần số âm thanh từ phím La Trung đến phím La Cao tạo thành một cấp số nhân có số hạng đầu \(u_1\) và công bội q.

Theo đề bài, ta có: 

\(\left\{{}\begin{matrix}u_1=400\\u_{13}=800\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}u_1=400\\u_1\cdot q^{12}=800\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}u_1=400\\q^{12}=2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}u_1=400\\q\approx1,059\end{matrix}\right.\)

Vậy công bội của cấp số nhân đó là \(q\approx1,059\)
 

(Trả lời bởi Hà Quang Minh)

Hướng dẫn giải

Dân số VN năm 2040 là:

\(97.6\cdot\left(1+1.14\%\right)^{20}\simeq122,4\)(triệu người)

(Trả lời bởi Nguyễn Lê Phước Thịnh)