Bài 2. Tiếp tuyến của đường tròn

Hướng dẫn giải

Xét tứ giác MBOC ta có:

\(\begin{array}{l}\widehat {CMB} = {360^o} - (\widehat {MCO} + \widehat {MBO} + \widehat {COB})\\ = {360^o} - (2\widehat {MCO} + \widehat {COB})\\ = {360^o} - ({2.90^o} + {130^o})\\ = {50^o}\end{array}\)

(Trả lời bởi datcoder)

Hướng dẫn giải

Vì \(AB,AC\) là tiếp tuyến của \(\left(O\right)\) tại \(B,C\left(gt\right)\)

\(\Rightarrow AB=AC\) (tính chất 2 tiếp tuyến của đường tròn cắt nhau)

\(\Rightarrow7x-4=3x+8\)

\(\Rightarrow4x=12\)

\(\Rightarrow x=3\)

(Trả lời bởi Nguyễn Đức Trí)

Hướng dẫn giải

Theo hình ta có: AB = 9; BC = 12; AC = 15

Suy ra BC² = AB² + AC² nên tam giác ABC vuông tại B

Hay \(\widehat {CBA} = {90^o}\) suy ra \(AB \bot BC\)

Mà \(O \in BC\) nên \(AB \bot BO\)

Vậy AB đi qua B (B \( \in (O)\)) và \(AB \bot BO = R\) nên AB là tiếp tuyến của đường tròn (O).

(Trả lời bởi datcoder)

Hướng dẫn giải

Ta có MB và BP là hai tiếp tuyến tại M và P của đường tròn (O) và cắt nhau tại B.

Do đó: BM = BP = 3cm (Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau).

Ta có AM và AE là hai tiếp tuyến tại M và E của đường tròn (O) và cắt nhau tại A.

Do đó: AM = AE = 6cm (Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau).

Ta có CE và CP là hai tiếp tuyến tại E và P của đường tròn (O) và cắt nhau tại C.

Do đó: CE = CP = 8cm (Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau).

Suy ra chu vi tam giác ABC là:

AB + AC + BC = (AM + MB) + (AE + EC) + (BP + PC)

= (6 + 3) + (6 + 8) + (3 + 8) = 34 cm.

(Trả lời bởi datcoder)

Hướng dẫn giải

a) Theo giả thiết ta có \(\widehat {ACB} = {90^o}\)

Áp dụng định lý Pythagore tam giác ABC vuông tại C, ta có:

AB² = AC² + BC² .Do đó BC² = AB² - AC² = (2R)² – R² = 3R²

Mà BC > 0 nên BC = \(R\sqrt 3 \).

b) Ta có IA = IC và AC là dây cung.

Suy ra OI \( \bot \) AC tại I (Trong một đường tròn, đường kính vuông góc với dây thì đi qua trung điểm của dây đó).

Trong tam giác OAC có OA = OC (= R)

Suy ra tam giác OAC là tam giác cân tại O.

Mà OI là đường trung tuyến của tam giác OAC.

Nên OI cũng là đường phân giác của góc COA

Vậy OM là phân giác \(\widehat {COA}\).

c) Xét \(\Delta \)OAM và \(\Delta \)OCM, ta có:

OA = OC = R

\(\widehat {AOM} = \widehat {COM}\) (Vì OM là phân giác góc AOC)

Cạnh chung OM

Suy ra \(\Delta \)OAM = \(\Delta \)OCM (c.g.c)

Nên \(\widehat {OAM} = \widehat {OCM}\) mà \(\widehat {OAM} = {90^o}\)(AM là tiếp tuyến tại A của (O; R))

Nên \(\widehat {OCM} = {90^o}\).

Do đó: \(MC \bot OM\) tại C.

Vậy MC là tiếp tuyến của đường tròn (O; R).

(Trả lời bởi datcoder)

Hướng dẫn giải

a) Xét tứ giác AOBM có:

\(\widehat {MAO} = {90^o}\) (Vì AM là tiếp tuyến của (O))

\(\widehat {OBM} = {90^o}\)(Vì BM là tiếp tuyến của (O))

\(\widehat {AMB} = {90^o}\) (Vì \(AM \bot MB\) tại M).

Do đó, tứ giác AOBM là hình chữ nhật.

Mà OA = OB (= R của (O))

Nên tứ giác AOBM là hình vuông.

Nên ta có MA = MB = OA = 5 cm.

b) Vì AM và MB là hai tiếp tuyến của (O) cắt nhau tại M nên OM là phân giác của

\(\widehat {AOB}\).

Ta có: \(\widehat {AOM} = \frac{1}{2}.\widehat {AOB} = \frac{1}{2}{.90^o} = {45^o}\)

Xét tam giác OCD có OI là đường cao (vì CI là tiếp tuyến của đường trồn tâm O) và OI là đường phân giác .

Do đó: tam giác OCD cân tại O.

Suy ra OI cũng là đường trung tuyến.

Xét tam giác CIO vuông tại I có CI = OI.tan \(\widehat {COI}\) = 5 .tan 45^o = 5 cm.

Mà I là trung điểm của CD (Vì OI là trung tuyến tam giác COD).

Do đó CD = 2CI = 2.5 = 10 cm.

(Trả lời bởi datcoder)

Hướng dẫn giải

Vì AM, MB là hai tiếp tuyến suy ra \(MA \bot AO;MB \bot BO\).

Xét tam giác vuông AMO và tam giác vuông BMO có:

MO là cạnh chung

OA = OB

Suy ra \(\Delta \)AMO = \(\Delta \)BMO (cạnh huyền – cạnh góc vuông)

Nên MA = MB. Do đó tam giác MAB cân tại M.

Mặt khác, ta có: \(\widehat {AMB} = {60^o}\) nên tam giác MAB đều suy ra AB = MA = MB

Mà AB + AM + MB = \({P_{MAB}}\) = 18

Suy ra 3AB = 18 nên AB = 6 cm.

(Trả lời bởi datcoder)

Hướng dẫn giải

a) Ta có AB là tiếp tuyến của đường tròn (O) tại B. Do đó \(AB \bot OB\).

Ta có: OA = OC + CA = r + 2

Xét tam giác OAB vuông tại B, ta có:

OA² = OB² + AB² (Áp dụng định lý Pythagore)

Suy ra \({(r + 2)^2} = {r^2} + {4^2}\)

\({r^2} + 4r + 4 = {r^2} + 16\)

4r = 12

r = 3 .

b) Xét tam giác OAB vuông tại B, ta có:

OA² = OB² + AB² = 3² + 4² = 5².

Suy ra OA = 5.

(Trả lời bởi datcoder)