Bài 16. Công thức tính góc trong không gian

Hướng dẫn giải

a) Vì \(\overrightarrow u \) và \(\overrightarrow {u'} \) lần lượt là các vectơ chỉ phương của hai đường thẳng \(\Delta \) và \(\Delta '\). Do đó, giá của \(\overrightarrow u \) song song với \(\Delta \), giá của \(\overrightarrow {u'} \) song song với \(\Delta '\). Do đó:

+) \(\left( {\Delta ,\Delta '} \right) = \left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} } \right)\)  nếu \(\left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} } \right) \le {90^o}\)

+) \(\left( {\Delta ,\Delta '} \right) = {180^o} - \left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} } \right)\)  nếu \(\left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} } \right) > {90^o}\)

b) Ta có: \(\cos \left( {\Delta ,\Delta '} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} } \right)} \right|\).

(Trả lời bởi datcoder)

Hướng dẫn giải

Đường thẳng \({\Delta _1}\) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_1}}  = \left( {2; - 1;3} \right)\), đường thẳng \({\Delta _2}\) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_2}}  = \left( { - 1;1;2} \right)\).

Do đó: \(\cos \left( {{\Delta _1},{\Delta _2}} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right)} \right| = \frac{{\left| {2.\left( { - 1} \right) - 1.1 + 3.2} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {3^2}} .\sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {1^2} + {2^2}} }} = \frac{{\sqrt {21} }}{{14}}\)

Suy ra: \(\left( {{\Delta _1},{\Delta _2}} \right) \approx 70,{9^o}\)

(Trả lời bởi datcoder)

Hướng dẫn giải

Trục Oz có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u  = \left( {0;0;1} \right)\), mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n  = \left( {1;2; - 1} \right)\). Ta có: \(\sin \left( {Oz,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {0.1 + 0.2 + 1.\left( { - 1} \right)} \right|}}{{\sqrt {{0^2} + {0^2} + {1^2}} .\sqrt {{1^2} + {2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = \frac{1}{{\sqrt 6 }}\)

Do đó, góc giữa trục Oz và mặt phẳng (P) khoảng \(24,{1^o}\).

(Trả lời bởi datcoder)

Hướng dẫn giải

Đường thẳng \(\Delta \) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u  = \left( { - 1;2;3} \right)\), mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n  = \left( {1;1;1} \right)\). Ta có: \(\sin \left( {\Delta ,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {\left( { - 1} \right).1 + 2.1 + 3.1} \right|}}{{\sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {2^2} + {3^2}} .\sqrt {{1^2} + {1^2} + {1^2}} }} = \frac{4}{{\sqrt {42} }}\)

Do đó, góc giữa đường thẳng \(\Delta \) và mặt phẳng (P) khoảng \(38,{1^o}\).

(Trả lời bởi datcoder)

Hướng dẫn giải

Gọi O là giao điểm của AC và BD, khi đó ta tính được \(OA = OB = OC = OD = 115\sqrt 2 \)

Vì \(SA = SB = SC = SD\) nên tam giác SAC và SBD là các tam giác cân tại S. Do đó, SO vừa là đường trung tuyến vừa là đường cao của các tam giác SAC và SBD. Do đó, \(SO \bot AC,SO \bot BD\) nên \(SO \bot \left( {ABCD} \right)\).

Tam giác SOA vuông tại O nên \(SO = \sqrt {S{A^2} - A{O^2}}  = \sqrt {{{219}^2} - {{\left( {115\sqrt 2 } \right)}^2}}  = 7\sqrt {439} \)

Chọn hệ trục tọa độ Oxyz có gốc tọa độ trùng với O như hình vẽ.

Khi đó, \(S\left( {0;0;7\sqrt {439} } \right),A\left( {115\sqrt 2 ;0;0} \right);B\left( {0;115\sqrt 2 ;0} \right),C\left( { - 115\sqrt 2 ;0;0} \right)\)

Suy ra: \(\overrightarrow {SA} \left( {115\sqrt 2 ;0; - 7\sqrt {439} } \right),\overrightarrow {AB} \left( { - 115\sqrt 2 ;115\sqrt 2 ;0} \right) \Rightarrow \overrightarrow m  = \frac{1}{{115\sqrt 2 }}\overrightarrow {AB}  = \left( { - 1;1;0} \right)\),

\(,\overrightarrow {SB} \left( {0;115\sqrt 2 ; - 7\sqrt {439} } \right)\), \(\overrightarrow {BC} \left( { - 115\sqrt 2 ; - 115\sqrt 2 ;0} \right) \Rightarrow \overrightarrow v  = \frac{1}{{ - 115\sqrt 2 }}\overrightarrow {BC}  = \left( {1;1;0} \right)\)

\(\left[ {\overrightarrow {SA} ,\overrightarrow m } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}0&{ - 7\sqrt {439} }\\1&0\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 7\sqrt {439} }&{115\sqrt 2 }\\0&{ - 1}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{115\sqrt 2 }&0\\{ - 1}&1\end{array}} \right|} \right)\)\( = \left( {7\sqrt {439} ;7\sqrt {439} ;115\sqrt 2 } \right)\)

Mặt phẳng (SAB) nhận \(\overrightarrow {{n_1}}  = \left[ {\overrightarrow {SA} ,\overrightarrow m } \right] = \left( {7\sqrt {439} ;7\sqrt {439} ;115\sqrt 2 } \right)\) làm vectơ pháp tuyến.

\(\left[ {\overrightarrow {SB} ,\overrightarrow v } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{115\sqrt 2 }&{ - 7\sqrt {439} }\\1&0\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 7\sqrt {439} }&0\\0&1\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}0&{115\sqrt 2 }\\1&1\end{array}} \right|} \right)\)\( = \left( {7\sqrt {439} ; - 7\sqrt {439} ; - 115\sqrt 2 } \right)\)

Mặt phẳng (SBC) nhận \(\overrightarrow {{n_2}}  = \left[ {\overrightarrow {SB} ,\overrightarrow v } \right] = \left( {7\sqrt {439} ; - 7\sqrt {439} ; - 115\sqrt 2 } \right)\) làm vectơ pháp tuyến.

Ta có: \(\left( {\left( {SAB} \right),\left( {SBC} \right)} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {{n_1}} ,\overrightarrow {{n_2}} } \right)} \right|\)

\( = \frac{{\left| {{{\left( {7\sqrt {439} } \right)}^2} - {{\left( {7\sqrt {439} } \right)}^2} - {{\left( {115\sqrt 2 } \right)}^2}} \right|}}{{\sqrt {{{\left( {7\sqrt {439} } \right)}^2} + {{\left( {7\sqrt {439} } \right)}^2} + {{\left( {115\sqrt 2 } \right)}^2}} .\sqrt {{{\left( {7\sqrt {439} } \right)}^2} + {{\left( { - 7\sqrt {439} } \right)}^2} + {{\left( { - 115\sqrt 2 } \right)}^2}} }}\)

\( = \frac{{{{\left( {115\sqrt 2 } \right)}^2}}}{{69\;472}} = \frac{{13225}}{{34736}} \Rightarrow \left( {\left( {SAB} \right),\left( {SBC} \right)} \right) \approx 67,{6^o}\)

Vậy góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SBC) bằng \(67,{6^o}\).

(Trả lời bởi datcoder)

Hướng dẫn giải

a) Chọn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ.

Khi đó, \(A\left( {0;1;0,4} \right),B\left( {1;1;0,44} \right),C\left( {1;0;0,48} \right),D\left( {0;0;z} \right)\)

Suy ra: \(\overrightarrow {AB} \left( {1;0;0,04} \right),\overrightarrow {DC} \left( {1;0,0,48 - z} \right)\)

Vì ABCD là hình bình hành nên \(\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {DC}  \Rightarrow 0,48 - z = 0,04 \Rightarrow z = 0,44\)

Do đó, \(D\left( {0;0;0,44} \right)\). Vậy khoảng cách từ D đến đáy bể bằng 44cm.

b) Đặt tên các điểm như hình vẽ. Kẻ AA’ vuông góc với Oz tại A’.

Mặt phẳng (Oxz) nhận \(\overrightarrow j \left( {0;1;0} \right)\) làm vectơ pháp tuyến nên phương trình mặt phẳng (Oxz) là: \(y = 0\).

Ta có: \(AA' = d\left( {A,\left( {Oxz} \right)} \right) = \frac{{\left| 1 \right|}}{{\sqrt 1 }} = 1\), \(AD = \sqrt {{1^2} + 0,{{04}^2}}  = \frac{{\sqrt {626} }}{{25}}\)

Tam giác ADA’ vuông tại A’ nên \(\cos \left( {AA',DA} \right) = \frac{{AA'}}{{AD}} = \frac{1}{{\frac{{\sqrt {626} }}{{25}}}} \Rightarrow \left( {AA',AD} \right) \approx 2,{3^o}\)

Vậy đáy bể nghiêng mới mặt nằm ngang một góc khoảng \(2,{3^o}\).

(Trả lời bởi datcoder)

Hướng dẫn giải

Trục Oz có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow k  = \left( {0;0;1} \right)\), đường thẳng \(\Delta \) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u \left( {1;2; - 2} \right)\). Do đó, \(\cos \left( {Oz,\Delta } \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow k ,\overrightarrow u } \right)} \right| = \frac{{\left| {0.1 + 0.2 - 1.2} \right|}}{{\sqrt {{0^2} + {0^2} + {1^2}} .\sqrt {{1^2} + {2^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} }} = \frac{2}{3}\)

Suy ra: \(\left( {Oz,\Delta } \right) \approx 48,{2^o}\).

(Trả lời bởi datcoder)

Hướng dẫn giải

a) Mối quan hệ của góc \(\left( {\Delta ,\left( P \right)} \right)\) và \(\left( {\Delta ,\Delta '} \right)\) là: \(\left( {\Delta ,\left( P \right)} \right) = {90^0} - \left( {\Delta ,\Delta '} \right)\)

b) Ta có: +) \(\left( {\Delta ,\left( P \right)} \right) = {90^0} - \left( {\Delta ,\Delta '} \right) = {90^0} - \left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow n } \right)\) với \(\left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow n } \right) \le {90^o}\)

+) \(\left( {\Delta ,\left( P \right)} \right) = {90^0} - \left( {\Delta ,\Delta '} \right) = {90^0} - \left[ {{{180}^o} - \left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow n } \right)} \right] =  - {90^o} + \left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow n } \right)\) với \(\left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow n } \right) > {90^o}\)

 Suy ra, \(\sin \left( {\Delta ,\Delta '} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow n } \right)} \right|\).

(Trả lời bởi datcoder)

Hướng dẫn giải

Đường thẳng \(\Delta \) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u  = \left( { - 1;2;1} \right)\), mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n  = \left( {1; - 1;1} \right)\). Ta có: \(\sin \left( {\Delta ,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {\left( { - 1} \right).1 + 2.\left( { - 1} \right) + 1.1} \right|}}{{\sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {2^2} + {1^2}} .\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {1^2}} }} = \frac{{\sqrt 2 }}{3}\)

Do đó, góc giữa đường thẳng \(\Delta \) và mặt phẳng (P) khoảng \(28,{1^0}\).

(Trả lời bởi datcoder)

Hướng dẫn giải

a) Vì các đường thẳng \(\Delta \), \(\Delta '\) tương ứng có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow n ,\overrightarrow {n'} \) nên đường thẳng \(\Delta \) vuông góc với mặt phẳng (P), đường thẳng \(\Delta '\) vuông góc với mặt phẳng (Q).

Do đó, \(\left( {\left( P \right),\left( Q \right)} \right) = \left( {\Delta ,\Delta '} \right)\)

b) Ta có: \(\cos \left( {\Delta ,\Delta '} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow n ,\overrightarrow {n'} } \right)} \right|\) nên \(\cos \left( {\left( P \right),\left( Q \right)} \right) = \cos \left( {\Delta ,\Delta '} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow n ,\overrightarrow {n'} } \right)} \right|\).

(Trả lời bởi datcoder)