Bài 15. Phương trình đường thẳng trong không gian

(H.5.27) Trong tình huống mở đầu hãy thực hiện các bước sau và trả lời câu hỏi đã được nêu ra.

a) Viết phương trình tham số của đường thẳng MN.

b) Tính tọa độ giao điểm D của đường thẳng MN với mặt phẳng Oxy.

c) Hỏi điểm D có nằm giữa hai điểm M và N hay không?

Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng ∆₁, ∆₂ tương ứng có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow{u_1}\)=(a₁; b₁; c₁), \(\overrightarrow{u_2}\) = (a₂; b₂; c₂).

a) Hai đường thẳng ∆₁ và ∆₂ vuông góc với nhau khi và chỉ khi hai giá của \(\overrightarrow{u_1}\), \(\overrightarrow{u_2}\) có mối quan hệ gì?

b) Tìm điều kiện đối với \(\overrightarrow{u_1}\), \(\overrightarrow{u_2}\) để ∆₁ và ∆₂ vuông góc với nhau.

Trong không gian $O x y z$, cho hai đường thẳng $\mathrm{D}_1 ; \mathrm{D}_2$ lần lượt đi qua các điểm $\mathrm{A}_1\left(\mathrm{x}_1 ; \mathrm{y}_1 ; \mathrm{z}_1\right), \mathrm{A}_2\left(\mathrm{x}_2 ; \mathrm{y}_2 ; \mathrm{z}_2\right)$ và tương ứng có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u_1}=\left(a_1 ; b_1 ; c_1\right), \overrightarrow{u_2}=\left(a_2 ; b_2 ; c_2\right)$ (H.5.29).
a) Tim điều kiện đối với $\overrightarrow{u_1}$ và $\overrightarrow{u_2}$ để $\mathrm{D}_1$ và $\mathrm{D}_2$ song song hoặc trùng nhau.
b) Giả sử $\left[\overrightarrow{u_1}, \overrightarrow{u_2}\right] \neq \overrightarrow{0}$ và $\overrightarrow{A_1 A_2} \cdot\left[\overrightarrow{u_1}, \overrightarrow{u_2}\right]=0$ thì $\mathrm{D}_1$ và $\mathrm{D}_2$ có cắt nhau hay không?
c) Giả sử $\overrightarrow{A_1 A_2} \cdot\left[\overrightarrow{u_1}, \overrightarrow{u_2}\right] \neq 0$ thì $\mathrm{D}_1$ và $\mathrm{D}_2$ có chéo nhau hay không?