Bài 15. Phương trình đường thẳng trong không gian

Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng:

\(\Delta_1:\left\{{}\begin{matrix}x=1+2t\\y=3-t\\z=2+3t\end{matrix}\right.\) và \(\Delta_2:\dfrac{x-8}{-1}=\dfrac{y+2}{-1}=\dfrac{z-2}{2}\)

a) Chứng minh rằng \(\Delta_1\) và \(\Delta_2\) cắt nhau.

b) Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa ​\(\Delta_1\) và ​\(\Delta_2\).​

Tại một nút giao thông có hai con đường. Trên thiết kế, trong không gian Oxyz, hai con đường đó thuộc hai đường thẳng lần lượt có phương trình: 

\(\Delta_1:\dfrac{x-1}{2}=\dfrac{y}{-1}=\dfrac{z+1}{3}\) và \(\Delta_2:\dfrac{x-3}{-1}=\dfrac{y+1}{1}=\dfrac{z}{1}\).

a) Hai con đường trên có vuông góc với nhau hay không?

b) Nút giao thông trên có phải là nút giao thông khác mức hay không?

Trong không gian Oxyz, một viên đạn được bắn ra từ điểm A(1; 3; 4) và trong 3 giây, đầu đạn đi với vận tốc không đổi; vectơ vận tốc (trên giây) là \(\overrightarrow{v}=\left(2;1;6\right)\). Hỏi viên đạn trên có bắn trúng mục tiêu trong mỗi tình huống sau hay không?

a) Mục tiêu đặt tại điểm M(7; \(\dfrac{7}{2}\); 21).

b) Mục tiêu đặt tại điểm N(−3; 1; −8).

Trên mặt đất phẳng, người ta dựng một cây cột thẳng cao 6 m vuông góc với mặt đất, có chân cột đặt tại ví trí O trên mặt đất. Tại một thời điểm, dưới ánh nắng mặt trời, bóng của đỉnh cột dưới mặt đất cách chân cột 3 m về hướng S60°E (hướng tạo với hướng nam góc 60° tạo với hướng đông góc 30°) (H.5.32). Chọn hệ trục Oxyz có gốc tọa độ là O, tia Ox chỉ hướng nam, tia Oy chỉ hướng đông, tia Oz chứa cây cột, đơn vị đo là mét. Hãy viết phương trình đường thẳng chứa tia nắng mặt trời đi qua đỉnh cột tại thời điểm đang xét.