Trong không gian $O x y z$, cho hai đường thẳng $\mathrm{D}_1 ; \mathrm{D}_2$ lần lượt đi qua các điểm $\mathrm{A}_1\left(\mathrm{x}_1 ; \mathrm{y}_1 ; \mathrm{z}_1\right), \mathrm{A}_2\left(\mathrm{x}_2 ; \mathrm{y}_2 ; \mathrm{z}_2\right)$ và tương ứng có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u_1}=\left(a_1 ; b_1 ; c_1\right), \overrightarrow{u_2}=\left(a_2 ; b_2 ; c_2\right)$ (H.5.29).
a) Tim điều kiện đối với $\overrightarrow{u_1}$ và $\overrightarrow{u_2}$ để $\mathrm{D}_1$ và $\mathrm{D}_2$ song song hoặc trùng nhau.
b) Giả sử $\left[\overrightarrow{u_1}, \overrightarrow{u_2}\right] \neq \overrightarrow{0}$ và $\overrightarrow{A_1 A_2} \cdot\left[\overrightarrow{u_1}, \overrightarrow{u_2}\right]=0$ thì $\mathrm{D}_1$ và $\mathrm{D}_2$ có cắt nhau hay không?
c) Giả sử $\overrightarrow{A_1 A_2} \cdot\left[\overrightarrow{u_1}, \overrightarrow{u_2}\right] \neq 0$ thì $\mathrm{D}_1$ và $\mathrm{D}_2$ có chéo nhau hay không?
a) Để \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) song song hoặc trùng nhau thì giá của hai vectơ \(\overrightarrow {{u_1}} \) và \(\overrightarrow {{u_2}} \) song song hoặc trùng nhau. Suy ra, \(\overrightarrow {{u_1}} \) và \(\overrightarrow {{u_2}} \) cùng phương.
b) Vì \(\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] \ne \overrightarrow 0 \) mà \(\overrightarrow {{A_1}{A_2}} .\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] = 0\) nên \(\overrightarrow {{A_1}{A_2}} = \overrightarrow 0 \), suy ra \({A_1}\) trùng \({A_2}\). Do đó, \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) cắt nhau.
c) Vì \(\overrightarrow {{A_1}{A_2}} .\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] \ne 0\) nên \(\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] \ne \overrightarrow 0 \) và \(\overrightarrow {{A_1}{A_2}} \ne \overrightarrow 0 \) nên \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) chéo nhau.
a) Để \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) song song hoặc trùng nhau thì giá của hai vectơ \(\overrightarrow {{u_1}} \) và \(\overrightarrow {{u_2}} \) song song hoặc trùng nhau. Suy ra, \(\overrightarrow {{u_1}} \) và \(\overrightarrow {{u_2}} \) cùng phương.
b) Vì \(\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] \ne \overrightarrow 0 \) mà \(\overrightarrow {{A_1}{A_2}} .\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] = 0\) nên \(\overrightarrow {{A_1}{A_2}} = \overrightarrow 0 \), suy ra \({A_1}\) trùng \({A_2}\). Do đó, \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) cắt nhau.
c) Vì \(\overrightarrow {{A_1}{A_2}} .\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] \ne 0\) nên \(\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] \ne \overrightarrow 0 \) và \(\overrightarrow {{A_1}{A_2}} \ne \overrightarrow 0 \) nên \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) chéo nhau.