Bài 14. Phương trình mặt phẳng

Hướng dẫn giải

Gọi (P) là mặt phẳng đi qua điểm \(M\left( {2;3; - 1} \right)\) song song với trục Ox và vuông góc với mặt phẳng (Q).

Ta có: \(\overrightarrow {{n_Q}} \left( {1;2; - 3} \right)\), trục Ox có một vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {{n_1}} \left( {1;0;0} \right)\).

\(\left[ {\overrightarrow {{n_Q}} ,\overrightarrow {{n_1}} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}2&{ - 3}\\0&0\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 3}&1\\0&1\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}1&2\\1&0\end{array}} \right|} \right) = \left( {0; - 3; - 2} \right)\)

Vì (P) song song với trục Ox và vuông góc với (Q) nên (P) nhận \(\left[ {\overrightarrow {{n_Q}} ,\overrightarrow {{n_1}} } \right] = \left( {0; - 3; - 2} \right)\) làm một vectơ pháp tuyến.

Mà (P) là mặt phẳng đi qua điểm \(M\left( {2;3; - 1} \right)\) nên phương trình (P) là:

\(0\left( {x - 2} \right) - 3\left( {y - 3} \right) - 2\left( {z + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow 3y + 2z - 7 = 0\)

(Trả lời bởi Nguyễn Quốc Đạt)

Hướng dẫn giải

Khoảng cách từ gốc tọa độ đến mặt phẳng (P) là: \(d\left( {O;\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {2.0 + 2.0 - 0 + 1} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = \frac{1}{3}\)

(Trả lời bởi Nguyễn Quốc Đạt)

Hướng dẫn giải

a) Mặt phẳng (P) có một vectơ pháp tuyến là: \(\overrightarrow {{n_P}}  = \left( {1;1;1} \right)\), mặt phẳng (Q) có một vectơ pháp tuyến là: \(\overrightarrow {{n_Q}}  = \left( {1;1;1} \right)\). Vì \(\overrightarrow {{n_P}}  = \overrightarrow {{n_Q}} \) và \(2 \ne 6\) nên (P) và (Q) song song với nhau.

b) Lấy điểm A(0; 0; -2) thuộc mặt phẳng (P). Ta có: \(d\left( {A,\left( Q \right)} \right) = \frac{{\left| {0 + 0 - 2 + 6} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2} + {1^2}} }} = \frac{{4\sqrt 3 }}{3}\)

Vì (P) và (Q) song song với nhau nên \(d\left( {\left( P \right),\left( Q \right)} \right) = d\left( {A,\left( Q \right)} \right) = \frac{{4\sqrt 3 }}{3}\).

(Trả lời bởi Nguyễn Quốc Đạt)

Hướng dẫn giải

a) Mặt phẳng (P) có một vectơ pháp tuyến là: \(\overrightarrow {{n_P}}  = \left( {1;3; - 1} \right)\), mặt phẳng (Q) có một vectơ pháp tuyến là: \(\overrightarrow {{n_Q}}  = \left( {1; - 1; - 2} \right)\).

Ta có: \(\overrightarrow {{n_P}} .\overrightarrow {{n_Q}}  = 1.1 + \left( { - 1} \right).3 + \left( { - 1} \right).\left( { - 2} \right) = 0\) nên \(\overrightarrow {{n_P}}  \bot \overrightarrow {{n_Q}} \). Do đó, hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau.

b) Điểm M thuộc trục Ox nên \(M\left( {x;0;0} \right)\).

Vì M cách đều hai mặt phẳng (P) và (Q) nên \(d\left( {M,\left( P \right)} \right) = d\left( {M,\left( Q \right)} \right)\)

\( \Rightarrow \frac{{\left| x \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {3^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = \frac{{\left| {x + 1} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} }}\)

\( \Rightarrow \frac{{\left| x \right|}}{{\sqrt {11} }} = \frac{{\left| {x + 1} \right|}}{{\sqrt 6 }} \Rightarrow 6{x^2} = 11{\left( {x + 1} \right)^2} \Rightarrow 5{x^2} + 22x + 11 = 0 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{{ - 11 - \sqrt {66} }}{5}\\x = \frac{{ - 11 + \sqrt {66} }}{5}\end{array} \right.\)

Vậy \(M\left( {\frac{{ - 11 + \sqrt {66} }}{5};0;0} \right);M\left( {\frac{{ - 11 - \sqrt {66} }}{5};0;0} \right)\) thì thỏa mãn yêu cầu bài toán.

(Trả lời bởi Nguyễn Quốc Đạt)

Hướng dẫn giải

Đặt tên bốn mái của ngôi nhà và chọn hệ trục tọa độ như hình sau:

Giả sử hình vuông ABCD cạnh a và các cạnh bên bằng nhau có độ dài là b.

Vì ABCD là hình vuông, O là giao điểm của AC và BD nên \(OC = OD = OB = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\)

Tam giác SOC vuông tại O nên \(SO = \sqrt {S{C^2} - O{C^2}}  = \sqrt {{b^2} - \frac{{{a^2}}}{2}}  = \sqrt {\frac{{2{b^2} - {a^2}}}{2}} \)

Khi đó, \(O\left( {0;0;0} \right),C\left( {\frac{{a\sqrt 2 }}{2};0;0} \right),D\left( {0;\frac{{a\sqrt 2 }}{2};0} \right),B\left( {0;\frac{{ - a\sqrt 2 }}{2};0} \right),S\left( {0;0;\sqrt {\frac{{2{b^2} - {a^2}}}{2}} } \right)\) 

\(\overrightarrow {SC} \left( {\frac{{a\sqrt 2 }}{2};0; - \sqrt {\frac{{2{b^2} - {a^2}}}{2}} } \right),\overrightarrow {DC} \left( {\frac{{a\sqrt 2 }}{2};\frac{{ - a\sqrt 2 }}{2};0} \right),\overrightarrow {BC} \left( {\frac{{a\sqrt 2 }}{2};\frac{{a\sqrt 2 }}{2};0} \right)\)

\(\left[ {\overrightarrow {SC} ,\frac{{\sqrt 2 }}{a}\overrightarrow {DC} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}0&{ - \sqrt {\frac{{2{b^2} - {a^2}}}{2}} }\\{ - 1}&0\end{array}} \right|,\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - \sqrt {\frac{{2{b^2} - {a^2}}}{2}} }&{\frac{{a\sqrt 2 }}{2}}\\0&1\end{array}} \right|,\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{{a\sqrt 2 }}{2}}&0\\1&{ - 1}\end{array}} \right|} \right)\) \( = \left( { - \sqrt {\frac{{2{b^2} - {a^2}}}{2}} ; - \sqrt {\frac{{2{b^2} - {a^2}}}{2}} ;\frac{{ - a\sqrt 2 }}{2}} \right)\)

\(\left[ {\overrightarrow {SC} ,\frac{{\sqrt 2 }}{a}\overrightarrow {BC} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}0&{ - \sqrt {\frac{{2{b^2} - {a^2}}}{2}} }\\1&0\end{array}} \right|,\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - \sqrt {\frac{{2{b^2} - {a^2}}}{2}} }&{\frac{{a\sqrt 2 }}{2}}\\0&1\end{array}} \right|,\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{{a\sqrt 2 }}{2}}&0\\1&1\end{array}} \right|} \right) = \left( {\sqrt {\frac{{2{b^2} - {a^2}}}{2}} ; - \sqrt {\frac{{2{b^2} - {a^2}}}{2}} ;\frac{{a\sqrt 2 }}{2}} \right)\)

Mặt phẳng (SCD) nhận \(\overrightarrow {{n_1}}  = \left[ {\overrightarrow {SC} ,\frac{{\sqrt 2 }}{a}\overrightarrow {DC} } \right] = \left( { - \sqrt {\frac{{2{b^2} - {a^2}}}{2}} ; - \sqrt {\frac{{2{b^2} - {a^2}}}{2}} ;\frac{{ - a\sqrt 2 }}{2}} \right)\) làm một vectơ pháp tuyến.

Mặt phẳng (SCB) nhận \(\overrightarrow {{n_2}}  = \left[ {\overrightarrow {SC} ,\frac{{\sqrt 2 }}{a}\overrightarrow {BC} } \right] = \left( {\sqrt {\frac{{2{b^2} - {a^2}}}{2}} ; - \sqrt {\frac{{2{b^2} - {a^2}}}{2}} ;\frac{{a\sqrt 2 }}{2}} \right)\) làm một vectơ pháp tuyến.

Ta có: \(\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}}  =  - \sqrt {\frac{{2{b^2} - {a^2}}}{2}} .\sqrt {\frac{{2{b^2} - {a^2}}}{2}}  + \sqrt {\frac{{2{b^2} - {a^2}}}{2}} .\sqrt {\frac{{2{b^2} - {a^2}}}{2}}  + \frac{{a\sqrt 2 }}{2}.\frac{{a\sqrt 2 }}{2} = \frac{{{a^2}}}{2} \ne 0\)

Do đó, hai mặt phẳng (SCD) và (SCB) không vuông góc với nhau.

Vậy không thể thực hiện được ý tưởng trên.

(Trả lời bởi Nguyễn Quốc Đạt)

Hướng dẫn giải

Mặt phẳng (Oxy) nhận \(\overrightarrow k  = \left( {0;0;1} \right)\) làm một vectơ pháp tuyến. Điểm O(0;0;0) thuộc mặt phẳng (Oxy) nên phương trình mặt phẳng (Oxy) là: \(1.\left( {z - 0} \right) = 0 \Leftrightarrow z = 0\)

Mặt phẳng \(z - 1 = 0\) có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_1}}  = \left( {0;0;1} \right)\)

Vì \(\overrightarrow k  = \overrightarrow {{n_1}} \) và \(0 \ne  - 1\) nên mặt phẳng (Oxy) song song với mặt phẳng \(z - 1 = 0\).

Do đó, mặt phẳng tương ứng chứa sàn nhà và trần nhà tầng 1 song song với nhau.

(Trả lời bởi Nguyễn Quốc Đạt)

Hướng dẫn giải

Vì các thanh gỗ AB và PQ luôn có phương nằm ngang và vectơ lực \(\overrightarrow F \) có giá song song với AB nên giá của các vectơ \(\overrightarrow {OP} ,\overrightarrow F \) có phương nằm ngang.

Vì moment lực \(\overrightarrow M \) được tính bởi công thức \(\overrightarrow M  = \left[ {\overrightarrow {OP} ,\overrightarrow F } \right]\) nên moment lực \(\overrightarrow M \) vuông góc với hai vectơ \(\overrightarrow {OP} ,\overrightarrow F \).

Do đó, giá của vectơ moment lực \(\overrightarrow F \) có phương thẳng đứng.

(Trả lời bởi Nguyễn Quốc Đạt)