Bài 14. Phương trình mặt phẳng

Trong không gian Oxyz, sàn của một căn phòng có dạng hình tứ giác với bốn đỉnh O(0; 0; 0), A(2; 0; 0), B(2; 3; 0), C(0; \(2\sqrt{2}\); 0). Bốn bức tường của căn phòng đều vuông góc với sàn.

a) Viết phương trình bốn mặt phẳng tương ứng chứa bốn bức tường đó.

b) Trong bốn mặt phẳng tương ứng chứa bốn bức tường đó, hãy chỉ ra những cặp mặt phẳng vuông góc với nhau.

Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng (α): Ax + By + Cz + D = 0, (β): A'x + B'y + C'x + D' = 0, với các vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow{n}\) = (A; B; C), \(\overrightarrow{n}\) = (A′; B′; C′).

Nếu hai mặt phẳng (α) và (β) song song hoặc trùng nhau thì các vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow{n}\), \(\overrightarrow{n'}\) có mối quan hệ gì?

Trong một kì thi tuyển sinh có ba môn thi Toán, Văn, Tiếng Anh. Trong không gian Oxyz, người ta biểu diễn kết quả thi của mỗi thí sinh bởi điểm có hoành độ, tung độ, cao độ tương ứng là điểm Toán, Văn, Tiếng Anh của thí sinh đó.

a) Chứng minh rằng các điểm biểu diễn tương ứng với các thí sinh có tổng số điểm ba môn thi bằng 27 (nếu có) cùng thuộc mặt phẳng có phương trình x + y + z – 27 = 0.

b) Chứng minh rằng tồn tại một số mặt phẳng đôi một song song với nhau sao cho hai điểm biểu diễn ứng với thí sinh có tổng số điểm thi bằng nhau thì cùng thuộc một mặt phẳng trong số các mặt phẳng đó.

Trong không gian $O x y z$, cho điểm $\mathrm{M}\left(\mathrm{x}_0 ; \mathrm{y}_0 ; \mathrm{z}_0\right)$ và mặt phẳng $(P): A x+B y+C z+D=0$ có vectơ pháp tuyến $\vec{n}=(A ; B ; C)$. Gọi N là hình chiếu vuông góc của M trên $(\mathrm{P})(\mathrm{H} .5 .13)$.
a) Giải thích vì sao tồn tại số k để $\overrightarrow{M N}=k \vec{n}$. Tính tọa độ của N theo k , tọa độ của M và các hệ số $\mathrm{A}, \mathrm{B}, \mathrm{C}$, D.
b) Thay tọa độ của $N$ vào phương trình mặt phẳng $(P)$ để từ đó tính $k$ theo tọa độ của $M$ và các hệ số $A, B, C$,
D.
c) Từ $|\overrightarrow{M N}|=|k||\vec{n}|$, hãy tính độ dài của đoạn thẳng MN theo tọa độ của M và các hệ số $\mathrm{A}, \mathrm{B}, \mathrm{C}, \mathrm{D}$. Từ đó suy ra công thức tính khoảng cách từ điểm $M$ đến mặt phẳng $(P)$.

(H.5.14) Góc quan sát ngang của một camera là 115°. Trong không gian Oxyz, camera được đặt tại điểm C(1; 2; 4) và chiếu thẳng về phía mặt phẳng (P): x + 2y + 2z + 3 = 0. Hỏi vùng quan sát được trên mặt phẳng (P) của camera là hình tròn có bán kính bằng bao nhiêu? (Làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất)