Bài 14. Phương trình mặt phẳng

Hướng dẫn giải

a) Bốn mặt phẳng tương ứng chứa bốn bức tường vuông góc với mặt sàn là: Mặt phẳng (Oyz), mặt phẳng (Oxz), mặt phẳng (P) chứa hai điểm A, B và vuông góc với mặt sàn, mặt phẳng (Q) chứa hai điểm B, C và vuông góc với mặt sàn.

Mặt phẳng (Oyz) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow i \left( {1;0;0} \right)\) và đi qua điểm \(O\left( {0;0;0} \right)\) nên phương trình mặt phẳng (Oyz) là: \(x = 0\)

Mặt phẳng (Oxz) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow j \left( {0;1;0} \right)\) và đi qua điểm \(O\left( {0;0;0} \right)\) nên phương trình mặt phẳng (Oxz) là: \(y = 0\)

Ta có: \(\overrightarrow {AB} \left( {0;3;0} \right),\overrightarrow {BC} \left( { - 2;2\sqrt 2  - 3;0} \right),\overrightarrow i \left( {1;0;0} \right),\overrightarrow j \left( {0;1;0} \right),\overrightarrow k \left( {0;0;1} \right)\)

Mặt phẳng (P) đi qua điểm A(2; 0; 0) và nhận \(\overrightarrow i  = \left( {1;0;0} \right)\) làm vectơ pháp tuyến. Do đó, phương trình mặt phẳng (P) là: \(x - 2 = 0\)

\(\left[ {\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow k } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{2\sqrt 2  - 3}&0\\0&1\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}0&{ - 2}\\1&0\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 2}&{2\sqrt 2  - 3}\\0&0\end{array}} \right|} \right) = \left( {2\sqrt 2  - 3;2;0} \right)\)

Mặt phẳng (Q) đi qua điểm \(C\left( {0;2\sqrt 2 ;0} \right)\) và nhận \(\left[ {\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow k } \right] = \left( {2\sqrt 2  - 3;2;0} \right)\) làm vectơ pháp tuyến. Do đó, phương trình mặt phẳng (Q) là:

\(\left( {2\sqrt 2  - 3} \right)x + 2\left( {y - 2\sqrt 2 } \right) = 0 \Leftrightarrow \left( {2\sqrt 2  - 3} \right)x + 2y - 4\sqrt 2  = 0\)

b) Các cặp mặt phẳng vuông góc với nhau là: (Oxz) và (Oyz); (Oxz) và (P).

(Trả lời bởi datcoder)

Hướng dẫn giải

Nếu hai mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) và \(\left( \beta  \right)\) song song hoặc trùng nhau thì giá của các vectơ \(\overrightarrow n ,\overrightarrow {n'} \) song song song hoặc trùng nhau. Do đó, các vectơ \(\overrightarrow n ,\overrightarrow {n'} \) cùng phương với nhau.

(Trả lời bởi datcoder)

Hướng dẫn giải

a) Mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) có một vectơ pháp tuyến là: \(\overrightarrow {{n_\alpha }}  = \left( {5;2; - 4} \right)\), mặt phẳng \(\left( \beta  \right)\) có một vectơ pháp tuyến là: \(\overrightarrow {{n_\beta }}  = \left( {10;4; - 2} \right)\).

Vì \(\frac{5}{{10}} = \frac{4}{2} \ne \frac{{ - 4}}{2}\) nên \(\overrightarrow {{n_\alpha }} \) và \(\overrightarrow {{n_\beta }} \) không cùng phương. Do đó, hai mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) và \(\left( \beta  \right)\) không song song với nhau.

b) Vì \(5.1 - 3.2 - 4.5 + 6 = 5 - 6 - 20 + 6 =  - 15 \ne 0\) nên điểm \(M\left( {1; - 3;5} \right)\) không thuộc mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\).

Vì \(10.1 + 4.\left( { - 3} \right) - 2.5 + 12 = 0\) nên điểm \(M\left( {1; - 3;5} \right)\) thuộc mặt phẳng \(\left( \beta  \right)\).

c) Vì mặt phẳng (P) song song với \(\left( \alpha  \right)\) nên mặt phẳng (P) nhận \(\overrightarrow {{n_\alpha }}  = \left( {5;2; - 4} \right)\) làm một vectơ pháp tuyến. Mà điểm \(M\left( {1; - 3;5} \right)\) thuộc (P) nên phương trình mặt phẳng (P) là:

\(5\left( {x - 1} \right) + 2\left( {y + 3} \right) - 4\left( {z - 5} \right) = 0 \Leftrightarrow 5x + 2y - 4z + 21 = 0\)

(Trả lời bởi datcoder)

Hướng dẫn giải

a) Gọi điểm Toán, Văn, Tiếng Anh của một thí sinh lần lượt là \({x_0};{y_0};{z_0}\) sao cho tổng điểm của thí sinh đó là 27. Khi đó, \({x_0} + {y_0} + {z_0} = 27\). Suy ra, điểm \(M\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) biểu diễn kết quả thi của thí sinh đó.

Thay \(x = {x_0};y = {y_0},z = {z_0}\) vào phương trình \(x + y + z - 27 = 0\) ta có:

${{x}_{0}}+{{y}_{0}}+{{z}_{0}}-27=0\Leftrightarrow 27-27=0\left( LD \right)$

Do đó, điểm \(M\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) thuộc mặt phẳng có phương trình \(x + y + z - 27 = 0\).

Vậy các điểm biểu diễn tương ứng với các thí sinh có tổng số điểm ba môn bằng 27 (nếu có) cùng thuộc mặt phẳng có phương trình \(x + y + z - 27 = 0\).

b) Xét phương trình mặt phẳng (M): \(x + y + z - 24 = 0\)

Gọi điểm Toán, Văn, Tiếng Anh của một thí sinh lần lượt là \({x_1};{y_1};{z_1}\) sao cho tổng điểm của thí sinh đó là 24. Khi đó, \({x_1} + {y_1} + {z_1} = 24\). Khi đó, điểm \(A\left( {{x_1};{y_1};{z_1}} \right)\) biểu diễn kết quả thi của thí sinh đó.

Thay \(x = {x_1};y = {y_1},z = {z_1}\) vào phương trình \(x + y + z - 24 = 0\) ta có:

${{x}_{1}}+{{y}_{1}}+{{z}_{1}}-24=0\Leftrightarrow 24-24=0\left( L \right)$

Do đó, điểm \(A\left( {{x_1};{y_1};{z_1}} \right)\) thuộc mặt phẳng có phương trình \(x + y + z - 24 = 0\).

Vậy các điểm biểu diễn tương ứng với các thí sinh có tổng số điểm ba môn bằng 24 (nếu có) cùng thuộc mặt phẳng (M).

Xét phương trình mặt phẳng (N): \(x + y + z - 20 = 0\)

Gọi điểm Toán, Văn, Tiếng Anh của một thí sinh lần lượt là \({x_2};{y_2};{z_2}\) sao cho tổng điểm của thí sinh đó là 20. Khi đó, \({x_2} + {y_2} + {z_2} = 20\). Khi đó, điểm \(B\left( {{x_2};{y_2};{z_2}} \right)\) biểu diễn kết quả thi của thí sinh đó.

Thay \(x = {x_2};y = {y_2},z = {z_2}\) vào phương trình \(x + y + z - 20 = 0\) ta có:

${{x}_{2}}+{{y}_{2}}+{{z}_{2}}-20=0\Leftrightarrow 20-20=0\left( LD \right)$

Do đó, điểm \(B\left( {{x_2};{y_2};{z_2}} \right)\) thuộc mặt phẳng (N).

Vậy các điểm biểu diễn tương ứng với các thí sinh có tổng số điểm ba môn bằng 20 cùng thuộc mặt phẳng có phương trình (N).

Theo a, các điểm biểu diễn tương ứng với các thí sinh có tổng số điểm ba môn bằng 27 cùng thuộc mặt phẳng (P) có phương trình \(x + y + z - 27 = 0\).

Ta thấy ba mặt phẳng (M), (N), (P) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n \left( {1;1;1} \right)\) và \( - 24 \ne  - 20 \ne  - 27\) nên ba mặt phẳng (M), (N), (P) song song với nhau.

Từ đó ta có kết luận: Tồn tại một số mặt phẳng đôi một song song với nhau sao cho hai điểm biểu diễn ứng với hai thí sinh có tổng số điểm thi bằng nhau thì cùng thuộc một mặt phẳng trong số các mặt phẳng đó.

(Trả lời bởi datcoder)

Hướng dẫn giải

a) Vì N là hình chiếu vuông góc của M trên (P) nên \(MN \bot \left( P \right)\). Mà \(\overrightarrow n \) là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) nên hai vectơ \(\overrightarrow {MN} \) và \(\overrightarrow n \) cùng phương. Do đó, tồn tại số k để \(\overrightarrow {MN}  = k\overrightarrow n \). Suy ra: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_N} - {x_M} = kA\\{y_N} - {y_M} = kB\\{z_N} - {z_M} = kC\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_N} = kA + {x_0}\\{y_N} = kB + {y_0}\\{z_N} = kC + {z_0}\end{array} \right.\) nên \(N\left( {kA + {x_0};kB + {y_0};kC + {z_0}} \right)\)

b) Thay \(x = kA + {x_0};y = kB + {y_0};z = kC + {z_0}\) vào phương trình \(Ax + By + Cz + D = 0\) ta có: \(A\left( {kA + {x_0}} \right) + B\left( {kB + {y_0}} \right) + C\left( {kC + {z_0}} \right) + D = 0\)

\( \Leftrightarrow k{A^2} + A{x_0} + k{B^2} + B{y_0} + k{C^2} + C{z_0} + D = 0\)

\( \Leftrightarrow k\left( {{A^2} + {B^2} + {C^2}} \right) + A{x_0} + B{y_0} + C{z_0} + D = 0\)\( \Leftrightarrow k = \frac{{ - \left( {A{x_0} + B{y_0} + C{z_0} + D} \right)}}{{{A^2} + {B^2} + {C^2}}}\)

c) Ta có: \(\left| {\overrightarrow n } \right| = \sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} \) nên \(\left| {\overrightarrow {MN} } \right| = \left| k \right|\left| {\overrightarrow n } \right| = \left| k \right|\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} \) \( = \sqrt {\frac{{{{\left( {A{x_0} + B{y_0} + C{z_0} + D} \right)}^2}\left( {{A^2} + {B^2} + {C^2}} \right)}}{{{{\left( {{A^2} + {B^2} + {C^2}} \right)}^2}}}} \)\( = \frac{{\left| {A{x_0} + B{y_0} + C{z_0} + D} \right|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }}\)

Do đó, công thức tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P) là:

\(d\left( {M,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {A{x_0} + B{y_0} + C{z_0} + D} \right|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }}\)

(Trả lời bởi datcoder)

Hướng dẫn giải

a) Mặt phẳng (P) có một vectơ pháp tuyến là: \(\overrightarrow {{n_P}}  = \left( {1;3;1} \right)\), mặt phẳng (Q) có một vectơ pháp tuyến là: \(\overrightarrow {{n_Q}}  = \left( {1;3;1} \right)\). Vì \(\overrightarrow {{n_P}}  = \overrightarrow {{n_Q}} \) và \(2 \ne 5\) nên (P) và (Q) song song với nhau.

b) Lấy điểm A(0; 0; -2) thuộc mặt phẳng (P). Ta có: \(d\left( {A,\left( Q \right)} \right) = \frac{{\left| {0 + 3.0 - 2 + 5} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {3^2} + {1^2}} }} = \frac{{3\sqrt {11} }}{{11}}\)

Vì (P) và (Q) song song với nhau nên \(d\left( {\left( P \right),\left( Q \right)} \right) = d\left( {A,\left( Q \right)} \right) = \frac{{3\sqrt {11} }}{{11}}\).

(Trả lời bởi datcoder)

Hướng dẫn giải

Khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (P) là: \(d\left( {C,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {1.1 + 2.2 + 2.4 + 3} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {2^2}} }} = \frac{{16}}{3}\)

Vùng quan sát trên mặt phẳng (P) của camera là hình tròn có bán kính là:

\(R = d\left( {C,\left( P \right)} \right).\tan \frac{{{{115}^0}}}{2} \approx 8,4\)

(Trả lời bởi datcoder)

Hướng dẫn giải

Gọi (P) là mặt phẳng đi qua điểm \(M\left( {1;2; - 1} \right)\) và vuông góc với trục Ox.

Vì (P) vuông góc với trục Ox nên (P) nhận \(\overrightarrow n  = \left( {1;0;0} \right)\) làm một vectơ pháp tuyến.

Mà (P) đi qua điểm \(M\left( {1;2; - 1} \right)\) nên phương trình (P) là:

\(1\left( {x - 1} \right) + 0.\left( {y - 2} \right) + 0.\left( {z + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow x - 1 = 0\)

(Trả lời bởi datcoder)

Hướng dẫn giải

a) \(\overrightarrow {AB} \left( { - 1;3;1} \right),\overrightarrow {AA'} \left( { - 1;2; - 1} \right)\)

Vì ABCD.A’B’C’D’ là hình hộp nên

+) \(\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {A'B'}  \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_{B'}} - {x_{A'}} =  - 1\\{y_{B'}} - {y_{A'}} = 3\\{z_{B'}} - {z_{A'}} = 1\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_{B'}} =  - 1 + {x_{A'}} =  - 1 + 0 =  - 1\\{y_{B'}} = 3 + {y_{A'}} = 3 + 1 = 4\\{z_{B'}} = 1 + {z_{A'}} = 1 + 2 = 3\end{array} \right. \Rightarrow B'\left( { - 1;4;3} \right)\)

+) \(\overrightarrow {AA'}  = \overrightarrow {DD'}  \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_{D'}} - {x_D} =  - 1\\{y_{D'}} - {y_D} = 2\\{z_{D'}} - {z_D} =  - 1\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_{D'}} =  - 1 + {x_D} = 1\\{y_{D'}} = 2 + {y_D} = 1\\{z_{D'}} =  - 1 + {z_D} = 0\end{array} \right. \Rightarrow D'\left( {1;1;0} \right)\)

+) \(\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {DC}  \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 1 = {x_C} - {x_D}\\3 = {y_C} - {y_D}\\1 = {z_C} - {z_D}\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_C} =  - 1 + {x_D} =  - 1 + 2 = 1\\{y_C} = 3 + {y_D} = 3 - 1 = 2\\{z_C} = 1 + {z_D} = 1 + 1 = 2\end{array} \right. \Rightarrow C\left( {1;2;2} \right)\)

b) Ta có: \(\overrightarrow {CD'} \left( {0; - 1; - 2} \right),\overrightarrow {CB'} \left( { - 2;2;1} \right)\)

Ta có: \(\left[ {\overrightarrow {CD'} ,\overrightarrow {CB'} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 1}&{ - 2}\\2&1\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 2}&0\\1&{ - 2}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}0&{ - 1}\\{ - 2}&2\end{array}} \right|} \right) = \left( {3;4; - 2} \right)\)

Mặt phẳng (CB’D’) đi qua điểm \(C\left( {1;2;2} \right)\) và nhận \(\left[ {\overrightarrow {CD'} ,\overrightarrow {CB'} } \right] = \left( {3;4; - 2} \right)\) làm một vectơ pháp tuyến. Do đó, phương trình mặt phẳng (CB’D’) là:

\(3\left( {x - 1} \right) + 4\left( {y - 2} \right) - 2\left( {z - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow 3x + 4y - 2z - 7 = 0\)

(Trả lời bởi datcoder)

Hướng dẫn giải

Ta có: \(\overrightarrow {{n_Q}}  = \left( {3;2; - 1} \right),\overrightarrow {{n_R}}  = \left( {1;1; - 1} \right)\)

\(\left[ {\overrightarrow {{n_Q}} ,\overrightarrow {{n_R}} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}2&{ - 1}\\1&{ - 1}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 1}&3\\{ - 1}&1\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}3&2\\1&1\end{array}} \right|} \right) = \left( { - 1;2;1} \right)\)

Vì (P) vuông góc với hai mặt phẳng (Q) và (R) nên (P) nhận \(\left[ {\overrightarrow {{n_Q}} ,\overrightarrow {{n_R}} } \right] = \left( { - 1;2;1} \right)\) làm một vectơ pháp tuyến. Mà (P) là mặt phẳng đi qua điểm \(M\left( {1; - 1;5} \right)\) nên phương trình (P) là: \( - 1\left( {x - 1} \right) + 2\left( {y + 1} \right) + 1\left( {z - 5} \right) = 0 \Leftrightarrow  - x + 2y + z - 2 = 0\)

(Trả lời bởi datcoder)