$2. Hàm số bậc hai, Đồ thị hàm số bậc hai và ứng dụng

Hướng dẫn giải

a) Thay tọa độ điểm \(M\left( {1;12} \right)\) và \(N\left( { - 3;4} \right)\) ta được:

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}a{.1^2} + b.1 + 4 = 12\\a.{\left( { - 3} \right)^2} + b.\left( { - 3} \right) + 4 = 4\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a + b = 8\\9a - 3b = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 2\\b = 6\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy parabol là \(y = 2{x^2} + 6x + 4\)

b) Hoành độ đỉnh của parabol là \(x_I = \frac{{ - b}}{{2a}}\)

Suy ra \(x_I = \frac{{ - b}}{{2a}} =  - 3 \Leftrightarrow b = 6a\)     (1)

Thay tọa độ điểm I vào ta được:

\(\begin{array}{l} - 5 = a.{\left( { - 3} \right)^2} + b.\left( { - 3} \right) + 4\\ \Leftrightarrow 9a - 3b =  - 9\\ \Leftrightarrow 3a - b =  - 3\left( 2 \right)\end{array}\)

Từ (1) và (2) ta được hệ

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}b = 6a\\3a - b =  - 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = 6a\\3a - 6a =  - 3\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = 6a\\a = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = 6\\a = 1\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy parabol là \(y = {x^2} + 6x + 4\).

(Trả lời bởi Hà Quang Minh)

Hướng dẫn giải

Tham khảo:

a) Hàm số có \(a = 2,b =  - 6;c=4 \) \(\Rightarrow  - \frac{b}{{2a}} =  - \frac{{ - 6}}{{2.2}} = \frac{3}{2}; y\left( {\frac{3}{2}} \right) = 2{\left( {\frac{3}{2}} \right)^2} - 6.\frac{3}{2} + 4 =  - \frac{1}{2} \)

+ Đồ thị hàm số có đỉnh \(I\left( {\frac{3}{2}; - \frac{1}{2}} \right)\)

+ Trục đối xứng là \(x = \frac{3}{2}\)

+ Giao điểm của parabol với trục tung là (0;4)

+ Giao điểm của parabol với trục hoành là (2;0) và (1;0)

+ Điểm đối xứng với điểm (0;4) qua trục đối xứng \(x = \frac{3}{2}\) là \(\left( {3;4} \right)\)

Vẽ parabol đi qua các điểm được xác định ở trên, ta nhận được đồ thị hàm số:

b) Hàm số có \(a = -3,b =  - 6;c=-3 \) \(\Rightarrow  - \frac{b}{{2a}} =  - \frac{{ - 6}}{{2.(-3)}} =-1 ; y(-1) = - 3{(-1)^2} - 6.(-1) - 3 = 0 \)

+ Đồ thị hàm số có đỉnh \(I\left( { - 1;0} \right)\)

+ Trục đối xứng là \(x =  - 1\)

+ Giao điểm của parabol với trục tung là (0;-3)

+ Giao điểm của parabol với trục hoành là \(I\left( { - 1;0} \right)\)

+ Điểm đối xứng với điểm (0;-3) qua trục đối xứng \(x =  - 1\) là (-2;-3)

Vẽ parabol đi qua các điểm được xác định ở trên, ta nhận được đồ thị hàm số:

(Trả lời bởi Kiều Sơn Tùng)

Hướng dẫn giải

a) Trục đối xứng là đường thẳng \(x = 2\)

Đỉnh là \(I\left( {2; - 1} \right)\)

b) Từ đồ thị ta thấy trên khoảng \(\left( { - \infty ;2} \right)\) thì hàm số đi xuống nên hàm số nghịch biến trên \(\left( { - \infty ;2} \right)\).

Trên khoảng \(\left( {2; + \infty } \right)\) thì hàm số đi xuống nên đồng biến trên \(\left( {2; + \infty } \right)\).

c) ) Gọi hàm số là \(y = a{x^2} + bx + c\left( {a \ne 0} \right)\)

Đồ thị hàm số có đỉnh là \(I\left( {2; - 1} \right)\) nên ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l} - \frac{b}{{2a}} = 2\\a{.2^2} + b.2 + c =  - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b =  - 4a\\4a + 2b + c =  - 1\end{array} \right.\)

Ta lại có điểm \(\left( {1;0} \right)\) thuộc đồ thị nên ta có: \(a + b + c = 0\)

Vậy ta có hệ sau:

\(\left\{ \begin{array}{l}b =  - 4a\\4a + 2b + c =  - 1\\a + b + c = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b =  - 4a\\4a + 2.\left( { - 4a} \right) + c =  - 1\\a + \left( { - 4a} \right) + c = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b =  - 4a\\c - 4a =  - 1\\c - 3a = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b =  - 4a\\a = 1\\c = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b =  - 4\\a = 1\\c = 3\end{array} \right.\)

Vậy parabol là \(y = {x^2} - 4x + 3\)

(Trả lời bởi Hà Quang Minh)

Hướng dẫn giải

a) Hệ số \(a = 5 > 0,b = 4 \Rightarrow \frac{{ - b}}{{2a}} = \frac{{ - 4}}{{2.5}} = \frac{{ - 2}}{5}\)

Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( { - \infty ;\frac{{ - 2}}{5}} \right)\) và đồng biến trên \(\left( {\frac{{ - 2}}{5}; + \infty } \right)\)

b) Ta có \(a =  - 2 < 0,b = 8\)

\( \Rightarrow  - \frac{b}{{2a}} = \frac{{ - 8}}{{2.\left( { - 2} \right)}} = 2\)

Vậy hàm số đã cho đồng biến trên khoảng \(\left( { - \infty ;2} \right)\) và nghịch biến trên khoảng \(\left( {2; + \infty } \right)\)

(Trả lời bởi Hà Quang Minh)

Hướng dẫn giải

Từ đồ thị ta thấy các điểm thuộc đồ thị là: \(A\left( {0;0} \right),B\left( {10;43} \right),C\left( {162;0} \right)\).

Gọi hàm số là \(y = a{x^2} + bx + c\left( {a \ne 0} \right)\)

Thay tọa độ các điểm A, B, C vào ta được hệ:

\(\left\{ \begin{array}{l}a{.0^2} + b.0 + c = 0\\a{.10^2} + b.10 + c = 43\\a{.162^2} + b.162 + c = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}c = 0\\100a + 10b = 43\\{162^2}a + 162b = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}c = 0\\a =  - \frac{{43}}{{1520}}\\b = \frac{{3483}}{{760}}\end{array} \right.\)

Từ đố ta có \(y =  - \frac{{43}}{{1520}}{x^2} + \frac{{3483}}{{760}}x\)

Hoành độ đỉnh của đồ thị là: \(x =  - \frac{b}{{2a}} = 81\)

Khi đó: \(y =  - \frac{{43}}{{1520}}{.81^2} + \frac{{3483}}{{760}}.81 \approx 186\)(m)

Vậy chiều cao của cổng là 186m.

(Trả lời bởi Hà Quang Minh)