Question

Xác định đa thức \(P\left(x\right)=ax^2+bx+c\) biết rằng \(P\left(-1\right)\times P\left(0\right)\times P\left(1\right)\) là một số nguyên tố và \(P\left(6\right)=127\)

Cảm ơn mọi người!

Answer 1

Bạn xem lại đề. $a,b,c$ cần được bổ sung điều kiện để có thể giải.

Answer 2

Lời giải:

Đã bổ sung điều kiện $a,b,c\in\mathbb{Z}^+$

Ta có:

$P(-1)P(0)P(1)=(a-b+c)c(a+b+c)>0$ và $a,b,c>0$ nên $a-b+c>0; a+b+c>0$

Để $P(-1)P(0)P(1)$ là số nguyên tố thì 2 trong 3 thừa số đã cho phải có giá trị bằng $1$ và thừa số còn lại là số nguyên tố.

Dễ thấy $a+b+c=\max (a-b+c, c, a+b+c)$ nên $a-b+c=c=1$

$\Rightarrow a=b; c=1$

Kết hợp với $P(6)=36a+6b+c=127$ suy ra a=b=3; c=1$

Thử lại thấy $P(-1)P(0)P(1)=7$ là snt (thỏa mãn)

Vậy $P(x)=3x^2+3x+1$