Question

với a,b,c thỏa mãn a²+b²+c²=ab+bc+ca+6. tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

P=(a-b)(b-c)(c-a)

Answer 1

Đặt \(\left(a-b;b-c;c-a\right)=\left(x;y;z\right)\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+y+z=0\\x^2+y^2+z^2=12\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow xy+yz+zx=-6\Rightarrow yz=-6-x\left(y+z\right)=x^2-6\)

Ta cũng có: \(12=x^2+y^2+z^2\ge x^2+\frac{1}{2}\left(y+z\right)^2=\frac{3}{2}x^2\Rightarrow-2\sqrt{2}\le x\le2\sqrt{2}\)

\(P=xyz=x\left(x^2-6\right)=x^3-6x\)

Xét hàm \(f\left(x\right)=x^3-6x\) trên \(\left[-2\sqrt{2};2\sqrt{2}\right]\Rightarrow f'\left(x\right)=3x^2-6=0\Rightarrow x=\pm\sqrt{2}\)

\(f\left(-2\sqrt{2}\right)=-4\sqrt{2}\) ; \(f\left(-\sqrt{2}\right)=4\sqrt{2}\) ; \(f\left(\sqrt{2}\right)=-4\sqrt{2}\) ; \(f\left(2\sqrt{2}\right)=4\sqrt{2}\)

\(\Rightarrow P_{max}=4\sqrt{2}\) ; \(P_{min}=-4\sqrt{2}\)