Question

Tui có rất nhiều bài toán. Tui k mún gửi chung 1 lượt nên tách ra nhé:

Chứng minh ( với mọi n thuộc tập hợp số tự nhiên) \(n^2+n+2\) \(⋮̸\)\(5\)

( Ai đi sửa cái dấu k chia hết kì cục vậy )

Answer 1

n² + n + 2 = n . n + n + 2 = n . (n + 1) + 2

Ta thấy n . (n + 1) là tích của hai số tự nhiên liên tiếp nên tận cùng là 0 hoặc 2 hoặc 6

=> n . (n + 1) + 2 có tận cùng là 2; 4; 8 không chia hết cho 5 vì số chia hết cho 5 có tận cùng là 0 hoặc 5

Answer 2

Ta có: \(n^2+n+2=n\left(n+1\right)+2\)

+) Xét n chẵn \(\Rightarrow n+1\) lẻ

\(\Rightarrow n\left(n+1\right)\) chẵn

\(\Rightarrow n\left(n+1\right)+2\) chẵn

Do số chẵn không chia hết cho 5

\(\Rightarrow n\left(n+1\right)+2⋮̸5\) (1)

+) Xét n lẻ \(\Rightarrow n+1\) chẵn

\(\Rightarrow n\left(n+1\right)\) chẵn

Do số chẵn không chia hết cho 5

\(\Rightarrow n\left(n+1\right)+2⋮̸5\) (2)

Từ (1), (2) \(\Rightarrowđpcm\)

Answer 3

Nếu cái dấu kia là cái dấu k chia hết thì tui làm như sau:

\(n^2+n+2=n\left(n+1\right)+2\)

Có: \(n\) và \(n+1\) là hai số tự nhiên liên tiếp nên tích \(n\left(n+1\right)\) sẽ có tận cùng bằng \(0,2,6\).

\(\Rightarrow n\left(n+1\right)+2\) sẽ có tận cùng bằng \(2,4,8\) hay \(n\left(n+1\right)+2\) không chia hết cho \(5\).

Answer 4

Đặt A=\(n^2+n+2=n\left(n+1\right)+2\)

Với n=5k \(\left(k\in N\right)\)

\(\Rightarrow A=5k\left(5k+1\right)+2=25k^2+5k+2\) chia 5 dư 2

Với n=5k+1

\(\Rightarrow A=\left(5k+1\right)\left(5k+2\right)+2=25k^2+15k+4\) chia 5 dư 4

Với n=5k+2

\(\Rightarrow A=\left(5k+2\right)\left(5k+3\right)+2=25k^2+25k+8\) chia 5 dư 3

Với n=5k+4

\(\Rightarrow A=\left(5k+3\right)\left(5k+4\right)+2=25k^2+35k+14\) chia 5 dư 4

Vậy với mọi \(n\in N\) thì \(A⋮̸5\) ( đpcm )