Tứ giác ABCD nội tiếp đư¬ờng tròn đ¬ường kính AD . Hai đư¬ờng chéo AC , BD cắt nhau tại E . Hình chiếu vuông góc của E trên AD là F . Ьờng thẳng CF cắt đ¬ường tròn tại điểm thứ hai là M . Giao điểm của BD và CF là N . Chứng minh :
a) CEFD là tứ giác nội tiếp . b)Tia FA là tia phân giác của góc BFM . c)BE . DN = EN . BD
a/ ta có: ACD là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn tâm O đường kính AD
=> góc ACD=90o
ta lại có: F là hình chiếu của E trên AD
=> EF\(\perp AD\)
\(\Rightarrow\widehat{EF̀D}=90^o\)
tứ giác CEFD có: \(\widehat{ECD}+\widehat{EFD}=180^o\)
mà 2 góc này ở vị trí đối nhau
=> tứ giác CEFD nội tiếp(đpcm)
b/chứng minh tương tự phần a ta có: tứ giác ABEF nội tiếp
=> \(\widehat{AFB}=\widehat{AEB}\)(cùng chắn cung AB nhỏ)(1)
ta lại có: góc AEB= góc CED (đối đỉnh)(2)
góc AFM= góc CFD(2 góc đối đỉnh)(3)
theo phần a ta có: tứ giác EFDC nội tiếp
=> góc CFD= góc CED(cùng chắn cung CD nhỏ)(4)
từ (1) ; (2) (3) và (4) => góc AFB= góc AFM
hay FA là tia phân giác của góc BFM(đpcm)
c/ gọi I là giao điểm của BF với đường tròn
cmtt: EF là phân giác góc BFC
FD là phân giác góc CFI
tam giác BFN có: ÈF là phân giác góc BFN
=>\(\frac{BE}{EN}=\frac{BF}{FN}\left(1'\right)\)
FD là phân giác góc ngoài của tam giác BFE
=> \(\frac{BD}{DN}=\frac{BF}{FN}\left(2'\right)\)
từ (1') và (2') => \(\frac{BE}{EN}=\frac{BD}{DN}\Leftrightarrow BE.DN=EN.BD\)(Đpcm)
