ĐKXĐ: \(x\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{m}{72}x^2+1< x\)
\(\Leftrightarrow f\left(x\right)=mx^2-72x+72< 0\) (1)
\(\Delta'=72\left(18-m\right)\)
Xét (1): do \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=\frac{72}{m}>0\\x_1x_2=\frac{72}{m}>0\end{matrix}\right.\) nên (1) luôn có 2 nghiệm dương khi \(m< 18\)
Mặt khác khi \(m< 18\Rightarrow f\left(2\right)=4m-72=4\left(m-18\right)< 0\) ; \(f\left(1\right)=m>0\)
\(\Rightarrow\) (1) luôn có 2 nghiệm thỏa mãn \(1< x_1< 2< x_2\)
\(\Rightarrow\) Khoảng nghiệm của pt luôn chứa 1 số nguyên \(x=2\)
\(\Rightarrow\) Để khoảng nghiệm chứa đúng 2 số nguyên thì nó phải chứa thêm một số nguyên \(x=3\)
\(\Leftrightarrow3< x_2< 4\)
\(\Leftrightarrow3< \frac{36+\sqrt{72\left(18-m\right)}}{m}< 4\)
\(\Leftrightarrow3m< 36+6\sqrt{2\left(18-m\right)}< 4m\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}3m-36< 6\sqrt{2\left(18-m\right)}\left(2\right)\\4m-36>6\sqrt{2\left(18-m\right)}\left(3\right)\end{matrix}\right.\)
Xét (2): với \(m\le12\) luôn đúng
Với \(12< m< 18\) bình phương 2 vế: \(\Leftrightarrow m^2-16m< 0\Rightarrow12< m< 16\)
\(\Rightarrow m< 16\)
Xét (3): với \(m\ge9\) bình phương 2 vế: \(\Leftrightarrow2m^2-27m>0\Rightarrow m>\frac{27}{2}\)
Kết hợp lại ta được: \(\frac{27}{2}< m< 16\Rightarrow m=\left\{14;15\right\}\)
\(\Rightarrow\sum m=29\)
