Question

Tính giá trị của các biểu thức sau đây khi: \(3sin^4x+cos^4x=\dfrac{3}{4}\). Tính \(A=sin^4x+3cos^4x\)

Answer 1

\(3sin^4x+cos^4x=\dfrac{3}{4}\Leftrightarrow\dfrac{\left(sin^2x\right)^2}{1}+\dfrac{\left(cos^2x\right)^2}{3}=\dfrac{1}{4}\)

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:

\(\dfrac{\left(sin^2x\right)^2}{1}+\dfrac{\left(cos^2x\right)^2}{3}\ge\dfrac{\left(sin^2x+cos^2x\right)^2}{1+3}=\dfrac{1}{4}\)

Dấu "=" xảy khi khi và chỉ khi: \(sin^2x=\dfrac{cos^2x}{3}\Rightarrow sin^4x=\dfrac{cos^4x}{9}\)

Thay vào biểu thức ban đầu:

\(3\left(\dfrac{cos^4x}{9}\right)+cos^4x=\dfrac{3}{4}\Leftrightarrow\dfrac{4}{3}cos^4x=\dfrac{3}{4}\Rightarrow cos^4x=\dfrac{9}{16}\)

\(\Rightarrow A=\dfrac{cos^4x}{9}+3cos^4x=\dfrac{9}{16.9}+\dfrac{3.9}{16}=\dfrac{7}{4}\)