Bài 1: Giới hạn của dãy số

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Vương Nguyên

Tính:

Câu 1: lim ( \(\frac{1}{\sqrt{n^2+1}}\) + \(\frac{1}{\sqrt{n^2+2}}\) + ... + \(\frac{1}{\sqrt{n^2+n}}\) )

Câu 2: lim ( \(\frac{1}{1.2}\) + \(\frac{1}{2.3}\) +...+ \(\frac{1}{n\left(n+1\right)}\) )

Câu 3: lim ( \(\frac{1}{n^2}\) + \(\frac{3}{n^2}\) + \(\frac{5}{n^2}\) +...+ \(\frac{2n-1}{n^2}\) )

Câu 4: lim ( \(\sqrt{3+\frac{n^2-1}{3+n^2}}\) - \(\frac{\left(-1\right)^n}{2^n}\) )

Câu 5: lim \(\sqrt{\frac{cos2n}{3n}+9}\)

Akai Haruma
21 tháng 1 2020 lúc 21:43

$n$ tiến đến đâu vậy bạn?

Khách vãng lai đã xóa
Akai Haruma
21 tháng 1 2020 lúc 23:09

Câu 2:

\(\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+...+\frac{1}{n(n+1)}=\frac{2-1}{1.2}+\frac{3-2}{2.3}+...+\frac{(n+1)-n}{n(n+1)}\)

\(=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+...\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\)

\(=1-\frac{1}{n+1}\)

\(\Rightarrow \lim_{n\to \infty}(\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+...+\frac{1}{n(n+1)})=\lim_{n\to \infty}(1-\frac{1}{n+1})=1-\lim_{n\to \infty}\frac{1}{n+1}=1-0=1\)

Khách vãng lai đã xóa
Akai Haruma
21 tháng 1 2020 lúc 23:13

Câu 3:

Ta biết rằng $\lim_{x\to \infty}\frac{1}{x}=0\Rightarrow \lim_{x\to \infty}\frac{a}{x}=0$ với $a\in\mathbb{R}$

Do đó:

$\lim_{n\to \infty}\frac{1}{n^2}=0$

$\lim_{n\to \infty}\frac{2}{n^2}=0$

.....

$\lim_{n\to \infty}\frac{2n-1}{n^2}=\lim_{n\to \infty}(\frac{2}{n}-\frac{1}{n^2})=\lim_{n\to \infty}\frac{2}{n}-\lim_{n\to \infty}\frac{1}{n^2}=0-0=0$

Do đó:

$\lim_{n\to \infty}(\frac{1}{n^2}+...+\frac{2n-1}{n^2})=\lim_{n\to \infty}\frac{1}{n^2}+....+\lim_{n\to \infty}\frac{2n-1}{n^2}=0+0+...+0=0$

Khách vãng lai đã xóa
Akai Haruma
21 tháng 1 2020 lúc 23:20

Câu 4:

\(\lim_{n\to \infty}\sqrt{3+\frac{n^2-1}{3+n^2}}=\lim_{n\to \infty}\sqrt{3+1-\frac{4}{n^2+3}}=\sqrt{4-0}=2\)

\(\lim_{n\to \infty}\frac{(-1)^n}{2^n}=\lim_{n\to \infty}(\frac{-1}{2})^n=0\) (định lý đã có trong SGK)

\(\Rightarrow \lim_{n\to \infty}(\sqrt{3+\frac{n^2-1}{n^2+3}}-\frac{(-1)^n}{2^n})=2-0=2\)

Khách vãng lai đã xóa
Akai Haruma
21 tháng 1 2020 lúc 23:34

Câu 5:

Ta thấy $\cos 2n$ là hàm bị chặn với mọi $n\to \infty$

$\lim_{n\to \infty}\frac{1}{3n}=0$

$\Rightarrow \lim_{n\to \infty} \sqrt{\frac{\cos 2n}{3n}+9}=\sqrt{0+9}=3$

Khách vãng lai đã xóa
Akai Haruma
21 tháng 1 2020 lúc 23:42

Câu 1:

ĐK: $n$ nguyên dương
Ta thấy:

$\frac{1}{\sqrt{n^2+1}}+\frac{1}{\sqrt{n^2+2}}+...+\frac{1}{\sqrt{n^2+n}}< \frac{1}{\sqrt{n^2}}+\frac{1}{\sqrt{n^2}}+...+\frac{1}{\sqrt{n^2}}=\frac{n}{\sqrt{n^2}}=1$

Và:

$\frac{1}{\sqrt{n^2+1}}+\frac{1}{\sqrt{n^2+2}}+...+\frac{1}{\sqrt{n^2+n}}> \frac{1}{\sqrt{n^2+n}}+...+\frac{1}{\sqrt{n^2+n}}=\frac{n}{\sqrt{n^2+n}}$

Trong đó $\lim_{n\to +\infty}\frac{n}{\sqrt{n^2+n}}=\lim_{n\to +\infty}\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{n}}=1$

Do đó theo định lý kẹp ta suy ra:

\(\lim_{n\to +\infty}(\frac{1}{\sqrt{n^2+1}}+\frac{1}{\sqrt{n^2+2}}+...+\frac{1}{\sqrt{n^2+n}})=1\)

Khách vãng lai đã xóa

Các câu hỏi tương tự
nguyễn linh chi
Xem chi tiết
James James
Xem chi tiết
Khang Minh
Xem chi tiết
maianh nguyễn
Xem chi tiết
Vương Nguyên
Xem chi tiết
Chi Nguyen
Xem chi tiết
Ngọc Ánh Nguyễn Thị
Xem chi tiết
Ngọc Ánh Nguyễn Thị
Xem chi tiết
lu nguyễn
Xem chi tiết