Question

Tính A = 1.2 + 2.3 + 3.4 + … + n.(n + 1)

Answer 1

Ta có :

\(A=1.2+2.3+3.4+...+n\left(n+1\right)\)

\(\Rightarrow3A=1.2.3+2.3.3+3.4.3+...+n.\left(n+1\right).3\)

\(=1.2.3+2.3.\left(4-1\right)+3.4.\left(5-2\right)+...+n.\left(n+1\right).\left[\left(n+2\right)-\left(n-1\right)\right]\)

\(=1.2.3+2.3.4-1.2.3+3.4.5-2.3.4+...+n.\left(n+1\right)\left(n+2\right)-\left(n-1\right)n\left(n+1\right)\)

\(=n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\)

\(\Rightarrow A=\frac{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)}{3}\)

Vậy : \(A=\frac{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)}{3}\)

Answer 2

Answer 3

*Cách khác

Ta thấy mỗi số hạng của tổng trên là tích của hai số tự nhên liên tiếp, khi đó:

Gọi a₁ = 1.2 → 3a₁ = 1.2.3 → 3a₁ = 1.2.3 - 0.1.2
a₂ = 2.3 → 3a₂ = 2.3.3 → 3a₂ = 2.3.4 - 1.2.3
a₃ = 3.4 → 3a₃ = 3.3.4 → 3a₃ = 3.4.5 - 2.3.4
…………………..
a_n-1 = (n - 1)n → 3a_n-1 =3(n - 1)n → 3a_n-1 = (n - 1)n(n + 1) - (n - 2)(n - 1)n
a_n = n(n + 1) → 3a_n = 3n(n + 1) → 3a_n = n(n + 1)(n + 2) - (n - 1)n(n + 1)

Cộng từng vế của các đẳng thức trên ta có:

3(a₁ + a₂ + … + a_n) = n(n + 1)(n + 2)

Chúc bạn học tốt!

_{p/s:Bạn kia nhanh zữ!}