Violympic toán 7

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Đinh Chí Công

Bài 1. Tính A = 1.2 + 2.3 + 3.4 + … + n.(n + 1)

Nguyễn Thanh Hằng
22 tháng 10 2017 lúc 9:35

\(A=1.2+2.3+..............+n\left(n+1\right)\)

\(\Leftrightarrow3A=1.2.3+2.3.3+..........+n\left(n+1\right)3\)

\(\Leftrightarrow3A=1.2\left(3-0\right)+2.3\left(4-1\right)+.........+n\left(n+1\right)\left[\left(n+2\right)-\left(n-1\right)\right]\)

\(\Leftrightarrow3A=1.2.3+2.3.4-1.2.3+3.4.5-2.3.4+.........+n\left(n+1\right)\left(n+2\right)-n\left(n+1\right)\left(n-1\right)\)

\(\Leftrightarrow3A=n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\)

\(\Leftrightarrow A=\dfrac{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)}{3}\)

Đinh Chí Công
22 tháng 10 2017 lúc 9:35

Lời giải:

Cách 1:

Ta thấy mỗi số hạng của tổng trên là tích của hai số tự nhên liên tiếp, khi đó:

Gọi a1 = 1.2 → 3a1 = 1.2.3 → 3a1 = 1.2.3 - 0.1.2
a2 = 2.3 → 3a2 = 2.3.3 → 3a2 = 2.3.4 - 1.2.3
a3 = 3.4 → 3a3 = 3.3.4 → 3a3 = 3.4.5 - 2.3.4
…………………..
an-1 = (n - 1)n → 3an-1 =3(n - 1)n → 3an-1 = (n - 1)n(n + 1) - (n - 2)(n - 1)n
an = n(n + 1) → 3an = 3n(n + 1) → 3an = n(n + 1)(n + 2) - (n - 1)n(n + 1)

Cộng từng vế của các đẳng thức trên ta có:

3(a1 + a2 + … + an) = n(n + 1)(n + 2)

Cách 2: Ta có

3A = 1.2.3 + 2.3.3 + … + n(n + 1).3 = 1.2.(3 - 0) + 2.3.(3 - 1) + … + n(n + 1)[(n - 2) - (n - 1)] = 1.2.3 - 1.2.0 + 2.3.3 - 1.2.3 + … + n(n + 1)(n + 2) - (n - 1)n(n + 1) = n(n + 1)(n + 2)

* Tổng quát hoá ta có:

k(k + 1)(k + 2) - (k - 1)k(k + 1) = 3k(k + 1). Trong đó k = 1; 2; 3; …

Ta dễ dàng chứng minh công thức trên như sau:

k(k + 1)(k + 2) - (k - 1)k(k + 1) = k(k + 1)[(k + 2) - (k - 1)] = 3k(k + 1)

Mình làm thế này có đúng không ạ !


Các câu hỏi tương tự
No name :)))
Xem chi tiết
Trần Lê Duy
Xem chi tiết
Phùng Ngọc Quốc Bảo
Xem chi tiết
đẳng cấp phong cách
Xem chi tiết
Đỗ Văn Nam
Xem chi tiết
phạm lê quỳnh anh
Xem chi tiết
Sakura
Xem chi tiết
No name :)))
Xem chi tiết
Vũ Thị Nhung
Xem chi tiết