Question

Cho A = \(\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+...+\frac{1}{n\left(n+1\right)}\)Với n ∈ N và n ≥1. CMR: A không phải là số nguyên

Answer 1

Lời giải:

\(A=\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+....+\frac{1}{n(n+1)}\)

\(=\frac{2-1}{1.2}+\frac{3-2}{2.3}+\frac{4-3}{3.4}+....+\frac{(n+1)-n}{n(n+1)}\)

\(=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\)

\(=1-\frac{1}{n+1}\)

Vì \(1\in\mathbb{Z}; \frac{1}{n+1}\not\in\mathbb{Z}, \forall n\in\mathbb{N}\geq 1\Rightarrow A=1-\frac{1}{n+1}\not\in\mathbb{Z}\)

Ta có đpcm.