Question

Tìm \(x\),\(y\inℤ\) biết \(y=\frac{5x+3}{x\left(y^2+1\right)+y\left(x^2+1\right)+x^2+y^2+2xy}\)

Answer 1

Ta có \(y=\frac{5x+3}{xy\left(x+y\right)+x+y+\left(x+y\right)^2}=\frac{5x+3}{\left(x+y\right)\left(xy+1+x+y\right)}=\frac{5x+3}{\left(x+y\right)\left(y+1\right)\left(x+1\right)}\)

Mà \(x,y\in Z\)

=> \(\frac{5x+3}{x+1}=5+\frac{-2}{x+1}\)là số nguyên

=> \(x+1\in\left\{\pm1;\pm2\right\}\)

=> \(x\in\left\{-3;-2;0;1\right\}\)

+ x=-3

=> \(y=\frac{6}{\left(y-3\right)\left(y+1\right)}\)

=> \(y^3-2y^2-3y-6=0\)(không có giá trị nguyên nào của y tm)

+ x=-2

=> \(y=\frac{7}{\left(y-2\right)\left(y+1\right)}\)=> \(y^3-y^2-2y-7=0\)(không có gt y nguyên tm)

+ \(x=0\)

=> \(y=\frac{3}{y\left(y+1\right)}\)=> \(y^3+y^2-3=0\)(không có gt y nguyên tm)

+ x=1

=> \(y=\frac{4}{\left(y+1\right)\left(y+1\right)}\)=> \(y^3+2y^2+2y-4=0\)(loại)

Vậy không có giá trị x,y nguyên TM đề bài