Gọi d là ước nguyên tố chung của 2.n + 1 và 7.n + 2
\(\Rightarrow\begin{cases}2.n+1⋮d\\7.n+2⋮d\end{cases}\)\(\Rightarrow\begin{cases}7.\left(2n+1\right)⋮d\\2.\left(7.n+2\right)⋮d\end{cases}\)\(\Rightarrow\begin{cases}14.n+7⋮d\\14.n+4⋮d\end{cases}\)
\(\Rightarrow\left(14.n+7\right)-\left(14.n+4\right)⋮d\)
\(\Rightarrow3⋮d\)
Mà d nguyên tố => d = 3
\(\Rightarrow\begin{cases}2.n+1⋮3\\7.n+2⋮3\end{cases}\)\(\Rightarrow\begin{cases}2.n+1-3⋮3\\7.n+2-9⋮3\end{cases}\)\(\Rightarrow\begin{cases}2.n-2⋮3\\7.n-7⋮3\end{cases}\)\(\Rightarrow\begin{cases}2.\left(n-1\right)⋮3\\7.\left(n-1\right)⋮3\end{cases}\)
Mà (2;3)=1; (7;3)=1 => \(n-1⋮3\)
=> n = 3.k + 1 (k ϵ N)
Vậy với \(n\ne3.k+1\left(k\in N\right)\) thì 2.n + 1 và 7.n + 2 là 2 số nguyên tố cùng nhau
