Dễ dàng nhận ra cả 2 số đều dương, đặt \(\frac{5n^2+n+1}{n^2-n+1}=k\in Z^+\)
\(\Leftrightarrow5n^2+n+1=kn^2-kn+k\)
\(\Leftrightarrow\left(k-5\right)n^2-\left(k+1\right)n+k-1=0\)
\(k=5\) ko có n nguyên thỏa mãn
\(k\ne5\Rightarrow\Delta=\left(k+1\right)^2-4\left(k-5\right)\left(k-1\right)\)
\(=-3k^2+26k-19\) \(\Rightarrow0< k< 8\)
Mặt khác do k nguyên; n nguyên \(\Rightarrow-3n^2+26k-19\) phải là số chính phương
Thay các giá trị \(k\in\left(0;8\right)\) vào thấy \(k=\left\{1;7\right\}\) thỏa mãn (loại 5)
- Với \(k=1\Rightarrow n=0\)
- Với \(k=7\Rightarrow n=\left\{1;3\right\}\)
