Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình: \(2+\sqrt{x+\frac{1}{2}+\sqrt{x+\frac{1}{4}}}=y\) (*)
<Giải: (*) ⇔ \(x+\frac{1}{2}+\sqrt{x+\frac{1}{4}}=y^2-4y+4\)
Vì x,y nguyên dương nên ta có thể suy ra 2 trường hợp:
* \(\left\{{}\begin{matrix}x=y^2-4y\\\frac{1}{2}+\sqrt{x+\frac{1}{4}}=4\end{matrix}\right.\)⇔\(\left\{{}\begin{matrix}x=12\\y=6\end{matrix}\right.\)
*\(\left\{{}\begin{matrix}x=y^2-4y+4\\\frac{1}{2}+\sqrt{x+\frac{1}{4}}=0\end{matrix}\right.\)(vô nghiệm)
Vậy phương trình có nghiệm (x;y)=(12;6) thỏa mãn đề bài.
Mình làm như thế có đúng không và nếu trong bài thi có được tính điểm không? Nếu không đúng thì phải làm như thế nào?>
Giải theo cách của bạn thì mình có thể chỉ ra cả ti tỉ trường hợp nữa. Cách giải này không hợp lý. Mình đang có hướng giải thôi, giờ bận rồi, cứ post cho các bạn tham khảo vậy.
(*) \(\Leftrightarrow2+\sqrt{x+\frac{1}{4}+2\sqrt{x+\frac{1}{4}}\cdot\frac{1}{2}+\frac{1}{4}}=y\)
\(\Leftrightarrow2+\sqrt{\left(\sqrt{x+\frac{1}{4}}+\frac{1}{2}\right)^2}=y\)
\(\Leftrightarrow2+\sqrt{x+\frac{1}{4}}+\frac{1}{2}=y\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{x+\frac{1}{4}}=y-\frac{5}{2}\)
\(\Leftrightarrow x+\frac{1}{4}=y^2-5y+\frac{25}{4}\)
\(\Leftrightarrow x-y^2+5y-6=0\)
\(\Leftrightarrow x-\left(y^2-5y+6\right)=0\)
\(\Leftrightarrow x-\left(y-2\right)\left(y-3\right)=0\)
:D
