Question

Tìm nghiệm nguyên dương của hệ phương trình:

\(\hept{\begin{cases}x+y+z=100\\5x+3y+\frac{z}{3}=100\end{cases}}\)

Answer 1

\(\left\{{}\begin{matrix}x+y+z=100\\15x+9y+z=300\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow14x+8y=200\Rightarrow x=\dfrac{100-4y}{7}\)

Do x, y, z nguyên dương \(\Rightarrow100-4y\) là bội của 7, mà \(100-4y< 100\) và luôn chia hết cho 4 với mọi y nguyên dương \(\Rightarrow100-4y\) là các bội chung nhỏ hơn 100 của 4 và 7 \(=\left\{28;56;84\right\}\)

\(100-4y=28\Rightarrow y=18\Rightarrow x=4\Rightarrow z=78\)

\(100-4y=56\Rightarrow y=11\Rightarrow x=8\Rightarrow z=81\)

\(100-4y=84\Rightarrow y=4\Rightarrow x=12\Rightarrow z=84\)

Vậy phương trình có 3 bộ nghiệm x, y, z thỏa mãn:

\(\left(x;y;z\right)=\left(4;18;78\right)\) ;\(\left(8;11;81\right)\) ;\(\left(12;4;84\right)\)