Question

Tìm m đề phương trình \(x^2-2x-2m+1=0\) có 2 nghiệm thỏa mãn \(x^2^{_2}\left(x^2^{_1}-1\right)+x^{2_1}\left(x^{2_2}-1\right)=8\)

Answer 1

Lời giải:

Trước tiên để PT có 2 nghiệm $x_1,x_2$ thì:

\(\Delta'=1+2m-1>0\Leftrightarrow m>0\)

Áp dụng định lý Vi-et: \(\left\{\begin{matrix} x_1+x_2=2\\ x_1x_2=-2m+1\end{matrix}\right.\)

Khi đó, để \(x_2^2(x_1^2-1)+x_1^2(x_2^2-1)=8\)

\(\Leftrightarrow 2(x_1x_2)^2-(x_1^2+x_2^2)=8\)

\(\Leftrightarrow 2(x_1x_2)^2-[(x_1+x_2)^2-2x_1x_2]=8\)

\(\Leftrightarrow 2(-2m+1)^2-[4-2(-2m+1)]=8\)

\(\Leftrightarrow 8m^2-12m=8\)

\(\Leftrightarrow 2m^2-3m-2=0\) \(\Rightarrow \left[\begin{matrix} m=2\\ m=\frac{-1}{2}\end{matrix}\right.\)

Kết hợp với điều kiện $m>0$ suy ra $m=2$.

Answer 2

Lời giải:

Trước tiên để PT có 2 nghiệm $x_1,x_2$ thì:

\(\Delta'=1+2m-1>0\Leftrightarrow m>0\)

Áp dụng định lý Vi-et: \(\left\{\begin{matrix} x_1+x_2=2\\ x_1x_2=-2m+1\end{matrix}\right.\)

Khi đó, để \(x_2^2(x_1^2-1)+x_1^2(x_2^2-1)=8\)

\(\Leftrightarrow 2(x_1x_2)^2-(x_1^2+x_2^2)=8\)

\(\Leftrightarrow 2(x_1x_2)^2-[(x_1+x_2)^2-2x_1x_2]=8\)

\(\Leftrightarrow 2(-2m+1)^2-[4-2(-2m+1)]=8\)

\(\Leftrightarrow 8m^2-12m=8\)

\(\Leftrightarrow 2m^2-3m-2=0\) \(\Rightarrow \left[\begin{matrix} m=2\\ m=\frac{-1}{2}\end{matrix}\right.\)

Kết hợp với điều kiện $m>0$ suy ra $m=2$.