Xét phương trình hoành độ giao điểm:
\(2x^2=2mx-m-2x+2\)
\(\Leftrightarrow2x^2-2\left(m-1\right)x+m-2=0\left(1\right)\)
Xét pt (1) có:
\(\Delta=4\left(m-1\right)^2-4.2.\left(m-2\right)\)
= \(4m^2-16m+20\)
= \(\left(2m-4\right)^2+4\) >0 với mọi m
\(\Rightarrow\) Phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt với mọi m
\(\Rightarrow\) 2 đường thẳng luôn cắt nhau tại 2 điểm phân biệt
Áp dụng công thức nghiệm ta có:
\(x_A=\dfrac{2m-2+\sqrt{\Delta}}{4}\Rightarrow y_A=\dfrac{2\left(2m-2+\sqrt{\Delta}\right)^2}{16}\)
\(x_B=\dfrac{2m-2-\sqrt{\Delta}}{4}\Rightarrow y_B=\dfrac{2\left(2m-2-\sqrt{\Delta}\right)^2}{16}\)
Theo đề bài ta có:
\(x_A-y_B=y_A-x_B-1\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{2m-2+\sqrt{\Delta}}{4}-\dfrac{2\left(2m-2-\sqrt{\Delta}\right)^2}{16}=\dfrac{2\left(2m-2+\sqrt{\Delta}\right)^2}{4}-\dfrac{2m-2-\sqrt{\Delta}}{4}-1\)
\(\Leftrightarrow4\left(2m-2+\sqrt{\Delta}\right)-2\left(2m-2-\sqrt{\Delta}\right)^2=2\left(2m-2+\sqrt{\Delta}\right)^2-4\left(2m-2-\sqrt{\Delta}\right)-16\)\(\Leftrightarrow48m-16-16m^2-4\Delta=0\)
\(\Leftrightarrow48m-16-16m^2-4\left(4m^2-16m+20\right)=0\)
\(\Leftrightarrow-32m^2+112m-96=0\)
\(\Leftrightarrow\left(m-2\right)\left(2m-3\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m-2=0\\2m-3=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m=2\\m=\dfrac{3}{2}\end{matrix}\right.\)
Vậy để 2 đường thẳng cắt nhau tại 2 điểm \(A_{\left(x_A;y_A\right)};B_{\left(x_B;y_B\right)}\) thỏa mãn
\(x_A-y_B=y_A-x_B-1\) thì \(m=2\) hoặc \(m=\dfrac{3}{2}\)
