Bài 1:
Ta có \(y'=4x^3-2(m+2)x=0\Leftrightarrow x(2x^2-m-2)=0\)
Để hàm số có ba cực trị thì \(m+2>0\leftrightarrow m>-2\)
Khi đó ta thu được 3 điểm cực trị là:
\(A(0,3);B\left (\sqrt{\frac{m+2}{2}},3-\frac{(m+2)^2}{4}\right);C\left (-\sqrt{\frac{m+2}{2}},3-\frac{(m+2)^2}{4}\right)\)
Nhận thấy \(AB=AC\) nên nếu 3 điểm cực trị thiết lập thành tam giác vuông cân thì sẽ vuông tại \(A\)
Ta có \(\overrightarrow{AB}\perp \overrightarrow{AC}\Leftrightarrow \left (\sqrt{\frac{m+2}{2}},-\frac{(m+2)^2}{4}\right).\left (-\sqrt{\frac{m+2}{2}},-\frac{(m+2)^2}{4}\right)=0\)
\(\Leftrightarrow \frac{(m+2)^4}{16}-\frac{m+2}{2}=0,m+2>0\Rightarrow (m+2)^3=8\rightarrow m=0\)
(thỏa mãn)
Vậy \(m=0\)
Bài 2:
Tương tự bài 1 thôi:
\(y'=4x^3+4(m+3)x=0\Leftrightarrow x(x^2+m+3)=0\)
Điều kiện \(m+3<0\)
Ba điểm cực trị của ĐTHS là:
\(A(0,m^2);B\left (\sqrt{-(m+3)},m^2-(m+3)^2\right);C\left (-\sqrt{-(m+3)},m^2-(m+3)^2\right)\)
Vì \(AB=AC\) nên nếu $A,B,C$ lập được thành một tam giác vuông cân thì nó sẽ cân tại $A$
Điều kiện để có tam giác vuông:
\(\overrightarrow{AB}\perp \overrightarrow {AC}\Leftrightarrow [\sqrt{-(m+3)},-(m+3)^2].[-\sqrt{-(m+3)},-(m+3)^2]=0\)
\(\Leftrightarrow (m+3)+(m+3)^4=0\)
\(\Leftrightarrow (m+3)^3+1=0\) do \(m+3\neq 0\)
\(\Rightarrow m=-4\) (thỏa mãn)
