Question

Tìm m để 

a) x + \(\sqrt{2x^2+1}\) = m có nghiệm 

b) mx - \(\sqrt{x-3}\) ≤ m + 1 

Answer 1

Lời giải:

a. Đặt $f(x)=x+\sqrt{2x^2+1}$

$f'(x)=1+\frac{2x}{\sqrt{2x^2+1}}=0\Leftrightarrow x=\frac{-1}{\sqrt{2}}$

Lập BBT ta thấy:

$f_{\min}=f(\frac{-1}{\sqrt{2}})=\frac{\sqrt{2}}{2}$

\(f(x)\to +\infty \) khi \(x\to +\infty; x\to -\infty \)

Do đó $x+\sqrt{2x^2+1}=m$ có nghiệm khi $m\geq \frac{\sqrt{2}}{2}$

b. TXĐ: $x\in [3;+\infty)$

BPT $\Leftrightarrow m(x-1)\leq \sqrt{x-3}+1$

$\Leftrightarrow m\leq \frac{\sqrt{x-3}+1}{x-1}$

Xét $f(x)=\frac{\sqrt{x-3}+1}{x-1}$
$f'(x)=0\Leftrightarrow x=7-2\sqrt{3}$

Lập BBT ta thấy $f_{\max}=f(7-2\sqrt{3})=\frac{1+\sqrt{3}}{4}$
Để BPT có nghiệm thì $m\leq \frac{1+\sqrt{3}}{4}$