Question

tìm m để phương trình sau có nghiệm

\(\sqrt{1+x}+\sqrt{8-x}+\sqrt{\left(1+x\right)\left(8-x\right)}=m\)

Answer 1

Vì $\sqrt{1+x}\ge 0,\sqrt{8-x}\ge 0,\sqrt{(1+x)(8-x)}\ge 0$

$\to \sqrt{1+x}+\sqrt{8-x}+\sqrt{(1+x)(8-x)}\ge 0$

mà $\sqrt{1+x}+\sqrt{8-x}+\sqrt{(1+x)(8-x)}=m$

=> m≥0

Answer 2

Đặt : 

\(t=\sqrt{1+x}+\sqrt{8-x}\) \(\left(t\ge0\right)\)

DKXĐ : \(-1\le x\le8\)

\(\Leftrightarrow t^2=9+2\sqrt{\left(1+x\right)\left(8-x\right)}\) (1) 

BBT của \(t^2\) :

\(x\)	\(-1\)                                  \(0\)                                  \(8\)
\(t^2\)	\(9+2\sqrt{2}\) \(9\)                                                                           \(9\)
\(t\)	\(1+2\sqrt{2}\)                                                                             \(1\)           \(2\sqrt{2}\)

 

\(\Leftrightarrow t\in\left(1,2\sqrt{2}\right)\)

Thay \(\left(1\right)\) vào pt ta có :\(\Leftrightarrow\sqrt{\left(1+x\right)\left(8-x\right)}=\dfrac{t^2-9}{2}\) (1)

\(\Leftrightarrow f\left(t\right)=t^2+2t-9=2m\)

BBT của \(f\left(t\right)\) :

\(t\)	\(1\)                                                             \(2\sqrt{2}\)
\(f\left(t\right)\)	\(4\sqrt{2}-1\) \(-6\)

 

\(\Leftrightarrow2m\in\left[-6;4\sqrt{2}-1\right]\)   thì pt có nghiệm 

\(\Leftrightarrow m\in\left(-3;\dfrac{-1+4\sqrt{2}}{2}\right)\)

Vẽ dùm mình mấy cái mũi tên trên BBT nhé UwU