Đặt \(M=\frac{x^2}{x^4+x^2+1}\)
Khi \(x=0\Rightarrow M=0\) (Không phải GTLN)
Khi \(x\ne0\) ta chia cả tử và mẫu cho \(x^2\) :
\(M=\frac{1}{x^2+\frac{1}{x^2}+1}\)
Ta có: \(x^2+\frac{1}{x^2}\ge2\sqrt{x^2+\frac{1}{x^2}}=2\)
Để \(M_{max}\Leftrightarrow x^2+\frac{1}{x^2}+1\) min
Mà \(x^2+\frac{1}{x^2}\ge2\Rightarrow x^2+\frac{1}{x^2}=2\)
\(\Leftrightarrow x^4-2x^2+1=0\)
\(\Leftrightarrow x^4-x^2-x^2+1=0\)
\(\Leftrightarrow x^2\left(x^2-1\right)-\left(x^2-1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x^2-1\right)\left(x^2-1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x^2-1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow x^2-1=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=1\\x=-1\end{matrix}\right.\)
Vậy \(M_{max}=\frac{1}{3}\Leftrightarrow x=\pm1\)
Ý tưởng khác bạn Trâm nhiaa :vv
Đặt : \(A=\frac{x^2}{x^4+x^2+1}\Rightarrow A-\frac{x^2}{x^4+x^2+1}=0\)
\(\Leftrightarrow Ax^4+Ax^2+A-x^2=0\)
\(\Leftrightarrow Ax^4+\left(A-1\right)x^2+A=0\)
\(\Delta=\left(A-1\right)^2-4A^2=-3A^2-2A+1\)
Để phương trình có nghiệm \(\Rightarrow\Delta\ge0\)
\(\Leftrightarrow-3A^2-2A+1\ge0\)
\(\Leftrightarrow3A^2+2A-1\le0\)
\(\Leftrightarrow\left(3A-1\right)\left(A+1\right)\le0\)
\(\Rightarrow-1\le A\le\frac{1}{3}\)
Vậy \(MAX_A=\frac{1}{3}\) khi \(x=\pm1\)
