Question

Tìm cặp số x,y sao cho : x\(\sqrt{y-1}\) + y\(\sqrt{x-1}\) = xy

Answer 1

ĐKXĐ: \(x;y\ge1\)

\(\Leftrightarrow\frac{x\sqrt{y-1}}{xy}+\frac{y\sqrt{x-1}}{xy}=1\)

\(\Leftrightarrow\frac{\sqrt{y-1}}{y}+\frac{\sqrt{x-1}}{x}=1\)

Mặt khác ta có

\(\frac{\sqrt{y-1}}{y}+\frac{\sqrt{x-1}}{x}=\frac{2.1.\sqrt{y-1}}{2y}+\frac{2.1.\sqrt{x-1}}{2x}\le\frac{1+x-1}{2x}+\frac{1+y-1}{2y}=1\)

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi:

\(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{x-1}=1\\\sqrt{y-1}=1\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow x=y=2\)