Lời giải:
Ta có: \(\lim_{x\to \infty} \frac{x-3}{x+1}=\lim_{x\to \infty}\frac{1-\frac{3}{x}}{1+\frac{1}{x}}=\frac{1}{1}\)
Do đó tiệm cận ngang : \(y=1\)
\(\lim _{x\to -1}\frac{x-3}{x+1}=\lim_{x\to -1}(1-\frac{4}{x+1})=1-\lim _{x\to -1}\frac{4}{x+1}=\infty\)
Do đó tiệm cận đứng \(x=-1\)
Gọi $I$ là giao điểm của hai tiệm cận thì \(I(-1;1)\)
Ta có: \(y'=\frac{4}{(x+1)^2}\) nên pt tiếp tuyến tại điểm $x_0$ là:
\(d:y=\frac{4}{(x_0+1)^2}(x-x_0)+\frac{x_0-3}{x_0+1}\)
Giao điểm \(d\cap \text{TCĐ}\) là: \(A=\left(-1; \frac{x_0-7}{x_0+1}\right)\)
Giao điểm \(d\cap \text{TCN}\) là: \(B=(2x_0+1,1)\)
Do đó: \(IA=|\frac{x_0-7}{x_0+1}-1|=|\frac{-8}{x_0+1}|\)
\(IB=|2x_0+1-(-1)|=2|x_0+1|\)
Do đó diện tích tam giác hợp bởi ba đường là:
\(S_{IAB}=\frac{IA.IB}{2}=\frac{|\frac{-8}{x_0+1}|.2|x_0+1|}{2}=8\) (đơn vị diện tích)
