Question

Tam giác ABC vuông tại A (AB < AC), đường cao AH. Đường tròn tâm O đường kính AH cắt AB, AC lần lượt tại M và N.

a) Chứng minh: AM. AB = AN. AC = ^(MN^(2))

b) Chứng minh tứ giác BMNC nội tiếp

c) Gọi S là giao điểm của BC và MN; SA cắt (O) tại K. Chứng minh BK ⟂ CK.

Answer 1

Hình bạn tự vẽ nhé <3

a/ Xét \(\left(O,R\right)\) có :

\(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{AMH}=90^0\\\widehat{ANH}=90^0\end{matrix}\right.\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Xét \(\Delta AHB\) vuông tại H

Đường cao HM

\(\Leftrightarrow AH^2=AM.AB\left(1\right)\)

Xét \(\Delta AHC\) vuông tại H

Đường cao HN

\(\Leftrightarrow AH^2=AN.AC\left(2\right)\)

Từ \(\left(1\right)+\left(2\right)\Leftrightarrow AM.AB=AN.AC\left(đpcm\right)\)

b/ Ta có :

\(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{HAC}+\widehat{ACH}=90^0\\\widehat{AMN}+\widehat{NMH}=90^0\end{matrix}\right.\)

Mà \(\widehat{NMH}=\widehat{NAH}\) (góc nội tiếp cùng chắn cung NH)

\(\Leftrightarrow\widehat{ACH}=\widehat{NMH}\)

Xét tứ giác \(BMNH\) có :

\(\widehat{ACH}=\widehat{NMH}\)

\(\Leftrightarrow\) Tứ giác BMNH nội tiếp