ĐKXĐ: \(\begin{cases}x-2\ge0\\ x^2-5\ge0\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}x\ge2\\ x^2\ge5\end{cases}\)
=>\(x\ge\sqrt5\)
Ta có: \(\sqrt{x-2}+\sqrt{x^2-5}>3\)
=>\(\sqrt{x^2 - 5}>3-\sqrt{x - 2}\quad(1)\)
Th1: \(3-\sqrt{x-2}<0\)
=>\(\sqrt{x-2}>3\)
=>x-2>9
=>x>11
Vì \(\sqrt{x^2-5}>0;0>3-\sqrt{x-2}\)
nên (1) đúng với mọi x thỏa mãn
=>x>11(3)
TH2: \(3-\sqrt{x-2}\ge0\)
=>\(\sqrt{x-2}\le3\)
=>0<=x-2<=9
=>2<=x<=11
=>\(\sqrt5\) <=x<=11
(1) sẽ tương đương với: \(x^2 - 5 > (3 - \sqrt{x - 2})^2\)
=>\(x^2 - 5 > 9 - 6\sqrt{x - 2} + (x - 2)\)
=>\(x^2 - 5 > 7 + x - 6\sqrt{x - 2}\)
=>\(x^2 - x - 12 > -6\sqrt{x - 2}\)
=>\(x^2-x-12+6\sqrt{x - 2}>0\quad\left(2\right)\)
Đặt \(t=\sqrt{x-2}\) (Điều kiện: 0<=t<=3)
=>\(x=t^2+2\)
Thay vào (2), ta được: \((t^2 + 2)^2 - (t^2 + 2) - 12 + 6t > 0\)
=>\(t^4 + 4t^2 + 4 - t^2 - 2 - 12 + 6t > 0\)
=>\(t^4 + 3t^2 + 6t - 10 > 0\)
=>\((t - 1)(t^3 + t^2 + 4t + 10) > 0\)
mà \(t^3+t^2+4t+10>0\) , vì t dương
nên t-1>0
=>t>1
=>x-2>1
=>x>3
mà \(\sqrt5\le x\le11\)
nên 3<x<=11(4)
Từ (3),(4) suy ra x>3
