Question

Phân tích đa thức thành nhân tử

\(a^4\left(b-c\right)+b^4\left(c-a\right)+c^4\left(a-b\right)\)

Answer 1

Ta có :

\(a^4\left(b-c\right)+b^4\left(c-a\right)+c^4\left(a-b\right)\)

\(=a^4\left(a+b-a-c\right)+b^4\left(c-a\right)+c^4\left(a-b\right)\)

\(=-a^4\left(c-a\right)-a^4\left(a-b\right)+b^4\left(c-a\right)+c^4\left(a-b\right)\)

\(=\left(b^4-a^4\right)\left(c-a\right)+\left(c^4-a^4\right)\left(a-b\right)\)

\(=\left(b^2+a^2\right)\left(b^2-a^2\right)\left(c-a\right)+\left(c^2-a^2\right)\left(c^2+a^2\right)\left(a-b\right)\)

\(=\left(b^2+a^2\right)\left(b-a\right)\left(b+a\right)\left(c-a\right)+\left(c-a\right)\left(c+a\right)\left(c^2+a^2\right)\left(a-b\right)\)

\(=\left(b-a\right)\left(c-a\right)\left[\left(b^2+a^2\right)\left(a+b\right)-\left(c+a\right)\left(c^2+a^2\right)\right]\)

\(=\left(b-a\right)\left(c-a\right)\left[ab^2+a^3+b^3+a^2b-c^3-ac^2-a^3-a^2c\right]\)

\(=\left(b-a\right)\left(c-a\right)\left[ab^2+b^3+a^2b-c^3-ac^2-a^2c\right]\)

\(=\left(b-a\right)\left(c-a\right)\left[\left(ab^2-ac^2\right)+\left(a^2b-a^2c\right)+\left(b^3-c^3\right)\right]\)

\(=\left(b-a\right)\left(c-a\right)\left[a\left(b^2-c^2\right)+a^2\left(b-c\right)+\left(b-c\right)\left(b^2+bc+c^2\right)\right]\)

\(=\left(b-a\right)\left(c-a\right)\left(b-c\right)\left(ab+ac+a^2+b^2+c^2+bc\right)\)

Answer 2

\(a^4\left(b-c\right)+b^4\left(c-a\right)+c^4\left(a-b\right)\)

\(=a^4\left(b-c\right)+b^4\left[\left(b+c\right)-\left(a+b\right)\right]+c^4\left(a-b\right)\)

\(=a^4\left(b-c\right)-b^4\left[\left(b-c\right)+\left(a-b\right)\right]+c^4\left(a-b\right)\)

\(=a^4\left(b-c\right)-b^4\left(b-c\right)-b^4\left(a-b\right)+c^4\left(a-b\right)\)

\(=\left(b-c\right)\left(a^4-b^4\right)-\left(a-b\right)\left(b^4-c^4\right)\)

\(=\left(b-c\right)\left(a^2+b^2\right)\left(a^2-b^2\right)-\left(a-b\right)\left(b^2-c^2\right)\left(b^2+c^2\right)\)

\(=\left(b-c\right)\left(a^2+b^2\right)\left(a-b\right)\left(a+b\right)-\left(a-b\right)\left(b^2+c^2\right)\left(b-c\right)\left(b+c\right)\)\(=\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left[a^3+ab^2+a^2b+b^3-b^3-bc^2-b^2c-c^3\right]\)

\(=\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left[a^3+ab^2+a^2b-bc^2-b^2c-c^3\right]\)

\(=\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left[a\left(a^2+b^2+ab\right)-c\left(c^2+bc+b^2\right)\right]\)

\(=\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left[a\left(a^2+b^2+c^2+ab+bc+ac\right)-c\left(a^2+b^2+c^2+ab+bc+ac\right)\right]\)

\(=\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(a-c\right)\left(a^2+b^2+c^2+ab+bc+ac\right)\)