mình ghi thiếu đề: cho 3 số thực k âm thỏa mãn xyz=1 tìm min và max của M
Đặt \(\left(\sqrt{x};\sqrt{y};\sqrt{z}\right)=\left(a;b;c\right)\Rightarrow abc=1\)
\(M=\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{c^3}{c^2+ca+a^2}\)
Xét \(N=\frac{b^3}{a^2+bc+b^2}+\frac{c^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{c^3}{c^2+ca+a^2}\)
\(\Rightarrow M-N=\frac{a^3-b^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^3-c^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{c^3-a^3}{c^2+ca+a^2}\)
\(\Rightarrow M-N=a-b+b-c+c-a=0\)
\(\Rightarrow M=N\Rightarrow2M=M+N=\frac{a^3+b^3}{a^2+ab+b^3}+\frac{b^3+c^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{c^3+a^3}{c^2+ca+a^2}\)
\(\Rightarrow2M=\frac{\left(a+b\right)\left(a^2+b^2-ab\right)}{a^2+b^2+ab}+\frac{\left(b+c\right)\left(b^2+c^2-bc\right)}{b^2+c^2+bc}+\frac{\left(c+a\right)\left(c^2+a^2-ca\right)}{c^2+a^2+ca}\)
\(\Rightarrow2M\ge\sum\frac{\left(a+b\right)\left(a^2+b^2-\frac{a^2+b^2}{2}\right)}{a^2+b^2+\frac{a^2+b^2}{2}}=\sum\frac{a+b}{3}=\frac{2}{3}\left(a+b+c\right)\)
\(\Rightarrow M\ge\frac{1}{3}\left(a+b+c\right)\ge\frac{1}{3}.3\sqrt[3]{abc}=1\)
\(\Rightarrow M_{min}=1\) khi \(a=b=c=1\)
Do bậc của tử số lớn hơn bậc mẫu số và các giá trị x;y;z không bị giới hạn nên \(M_{max}\) không tồn tại
