[Lớp 9]
Câu 1:
Cho biểu thức \(P=\left(\dfrac{4}{\sqrt{x}}-\dfrac{3}{\sqrt{x}+1}\right):\left(\dfrac{\sqrt{x}-2}{x+\sqrt{x}}+\dfrac{2}{\sqrt{x}}\right)\) với \(x>0\).
a) Rút gọn P.
b) Tìm \(x\) để \(P=2\sqrt{x}-3.\)
Câu 2:
a) Giải hệ phương trình \(\left\{{}\begin{matrix}x+y=2020\\2021x-y=2\end{matrix}\right.\)
b) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho (d): \(y=-2x+m^2-12\) và (P): \(y=\left(m-2\right)x^2\) (với \(m\ne2\)). Tìm m để (d) và (P) cùng đi qua điểm A(1;2). Tìm tọa độ điểm B còn lại.
Câu 3:
Cho phương trình \(x^2-\left(2m-1\right)x+m^2-2m=0\) (với m là tham số).
a) Giải phương trình với m = 3.
b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu.
c) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 sao cho \(Q=x^2_1-x_1x_2+x_2^2\) đạt giá trị nhỏ nhất.
Câu 4:
Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB = 2R, I là trung điểm của AO. Đường thẳng d vuông góc với AB tại I cắt nửa đường tròn ở C. Trên đoạn CI lấy điểm D (D khác C và I). Tia AD cắt nửa đường tròn ở E, tiếp tuyến của nửa đường tròn tại E cắt d ở M, đường thẳng BE cắt d ở N.
a) Chứng minh tứ giác AIEN nội tiếp và \(\widehat{AEI}+\widehat{NAB}=90^o.\)
b) Chứng minh tam giác MDE cân.
c) Giả sử D là trung điểm của CI. Tính DN theo R.
Chúc các em ôn thi tốt!
Câu 1:
a) Ta có: \(P=\left(\dfrac{4}{\sqrt{x}}-\dfrac{3}{\sqrt{x}+1}\right):\left(\dfrac{\sqrt{x}-2}{x+\sqrt{x}}+\dfrac{2}{\sqrt{x}}\right)\)
\(=\left(\dfrac{4\left(\sqrt{x}+1\right)-3\sqrt{x}}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+1\right)}\right):\dfrac{\sqrt{x}-2+2\left(\sqrt{x}+1\right)}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+1\right)}\)
\(=\dfrac{4\sqrt{x}+4-3\sqrt{x}}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+1\right)}\cdot\dfrac{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+1\right)}{\sqrt{x}-2+2\sqrt{x}+2}\)
\(=\dfrac{\sqrt{x}+4}{3\sqrt{x}}\)
b) Ta có: \(P=2\sqrt{x}-3\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{\sqrt{x}+4}{3\sqrt{x}}=2\sqrt{x}-3\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{x}+4=6x-9\sqrt{x}\)
\(\Leftrightarrow6x-9\sqrt{x}-\sqrt{x}-4=0\)
\(\Leftrightarrow6x-10\sqrt{x}-4=0\)
\(\Leftrightarrow6x-12\sqrt{x}+2\sqrt{x}-4=0\)
\(\Leftrightarrow6\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-2\right)+2\left(\sqrt{x}-2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{x}-2\right)\left(6\sqrt{x}+2\right)=0\)
mà \(6\sqrt{x}+2>0\forall x>0\)
nên \(\sqrt{x}-2=0\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{x}=2\)
hay x=4(thỏa ĐK)
Vậy: Để \(P=2\sqrt{x}-3\) thì x=4
Câu 2 :
\(\left\{{}\begin{matrix}x+y=2020\\2021x-y=2\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=2020-x\\2021x-y=2\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=2020-x\\2021x-\left(2020-x\right)=2\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=2020-x\\2022x-2020=2\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=2020-x\\x=1\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=1\\y=2019\end{matrix}\right.\)
\(b.\)
\(\text{Vì (P) đi qua A(1,2) nên : }\)
\(2=\left(m-2\right)\cdot1\)
\(\Leftrightarrow m=4\left(1\right)\)
\(\text{Vì (d) đi qua A(1,2) nên : }\)
\(2=-2\cdot1+m^2-12\)
\(\Leftrightarrow m^2=16\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m=4\\m=-4\end{matrix}\right.\left(2\right)\)
\(\text{Từ (1) , (2) : }\)\(m=4\)
\(\text{Khi đó : }\)
\(\left(d\right):y=-2x+4^2-12\)
\(\Leftrightarrow y=-2x+4\)
\(\left(P\right):\) \(y=\left(4-2\right)\cdot x^2\Leftrightarrow y=2x^2\)
\(\text{Phương trình hoành độ giao điểm: }\)
\(-2x+4=2x^2\)
\(\Leftrightarrow2x^2+2x-4=0\)
\(\Leftrightarrow x^2+x-2=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=1\\x=-2\end{matrix}\right.\)
\(\text{Với : }\) \(x=1\Rightarrow y=2x^2=2\cdot1=2\)
\(\text{Với : }\) \(x=-2\Rightarrow y=2x^2=2\cdot\left(-2\right)^2=8\)
\(B\left(-2,8\right)\)
Bài 3
a) Với m = 3 thay vào phương trình ta được :
\(x^2-\left(2.3-1\right)x+3^2-2.3=0\)
\(\Leftrightarrow x^2-5x+3=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=\dfrac{5-\sqrt{13}}{2}\\x=\dfrac{5+\sqrt{13}}{2}\end{matrix}\right.\)
Vậy với m = 3 phương trình có nghiệm \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=\dfrac{5-\sqrt{13}}{2}\\x=\dfrac{5+\sqrt{13}}{2}\end{matrix}\right.\)
b) Phương trình có 2 nghiệm trái dấu \(\Leftrightarrow ac< 0\)
\(\Leftrightarrow1.\left(m^2-2m\right)< 0\)
\(\Leftrightarrow m^2-2m< 0\left(do1>0\right)\)
\(\Leftrightarrow m\left(m-2\right)< 0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}m< 0\\m-2>0\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}m>0\\m-2< 0\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}m< 0\\m>2\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}m>0\\m< 2\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\Leftrightarrow0< m< 2\)
Vậy 0 < m < 2 thì phương trình có 2 nghiệm trái dấu
c) Để phương trình có hai nghiệm x1,x2
\(\Rightarrow\Delta>0\)
\(\Leftrightarrow\left[-\left(2m-1\right)\right]^2-4.1.\left(m^2-2m\right)>0\)
\(\Leftrightarrow4m^2-4m+1-4m^2+8m>0\)
\(\Leftrightarrow4m+1>0\Leftrightarrow m>\dfrac{-1}{4}\)
Theo viet: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2m-1\\x_1.x_2=m^2-2m\end{matrix}\right.\)
Q = \(x_1^2-x_1x_2+x_2^2=x_1^2+2x_1x_2+x_2^2-3x_1x_2\)
= \(\left(x_1+x_2\right)^2-3x_1x_2=\left(2m-1\right)^2-3\left(m^2-2m\right)\)
\(=4m^2-4m+1-3m^2+6m=m^2+2m+1=\left(m+1\right)^2\)
Do \(\left(m+1\right)^2\ge0\forall m\)
=> \(\left(m+1\right)^2_{min}=0\Leftrightarrow m+1=0\Leftrightarrow m=-1\)(loại)
Vậy không tìm được m thoả mãn đề bài
