Câu 1:
Cho các biểu thức \(A=\dfrac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x}+3}\) và \(B=\dfrac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-3}+\dfrac{11\sqrt{x}-3}{x-9};\) với \(x\ge0;x\ne9.\)
a) Tính giá trị của A khi x = 36;
b) Rút gọn biểu thức M = A + B;
c) Tìm x sao cho M = M4.
Câu 2:
a) Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình:
Trên quãng đường AB dài 200km có hai ô tô đi ngược chiều. Xe 1 khởi hành từ A đi đến B, xe 2 khởi hành từ B đi đến A. Hai xe khởi hành cùng một lúc và sau hai giờ thì gặp nhau. Tính vận tốc mỗi xe nếu vận tốc xe 2 lớn hơn vận tốc xe 1 là 10km/h.
b) Một hộp sữa hình trụ có thể tích là 16π (cm3). Biết rằng đường kính đáy và độ dài trục của hình trụ bằng nhau.
Tính diện tích vật liệu cần dùng để tạo nên một hộp sữa như vậy (bỏ qua diện tích phần ghép nối).
Câu 3:
1) Cho đường thẳng (d): y = mx - m + 1 và parabol (P): y = x2;
a) Tìm m để đường thẳng (d) vad parabol (P) cắt nhau tại hai điểm phân biệt;
b) Gọi \(x_1, x_2\) là hoành độ các giao điểm của (d) và (P). Tìm m sao cho \(x_1^2x_2+x_2^2x_1=2.\)
2) Giải hệ phương trình \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{3}{x}+y=5\\\dfrac{2}{x}-2y=-2.\end{matrix}\right.\)
Câu 4:
Cho nửa đường tròn (O; R) đường kính AB. Trên cùng nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa đường tròn, kẻ hai tiếp tuyến Ax, By với nửa đường tròn. Lấy điểm M thuộc nửa đường tròn, tiếp tuyến tại M của nửa đường tròn cắt Ax, By lần lượt tại C và D. Nối AD cắt BC tại N, MN cắt AB tại H.
a) Chứng minh OACM là tứ giác nội tiếp;
b) Chứng minh tích AC.BD không phụ thuộc vào vị trí của M;
c) Chứng minh MN // BD và MN = NH.
Câu 5:
Cho a, b, c > 0; a + b + c = 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
\(M=\dfrac{ab}{c^2\left(a+b\right)}+\dfrac{ac}{b^2\left(a+c\right)}+\dfrac{bc}{a^2\left(b+c\right)}.\)
Chúc các em ôn thi tốt và đạt điểm cao trong kì thi sắp tới!
Bài 2
a)
Gọi vận tốc xe 1 là: x (x>0) (km/h)
=> Vận tốc xe 2 là x + 10 (km/h)
Do hai xe khởi hành cùng một lúc và sau hai giờ thì gặp nhau nên ta có phương trình:
x.2+(x+10).2 = 200
⇔ 2x + 2x + 20 = 200
⇔4x = 180
⇔x=45 (tmx>0)
Vậy vận tốc xe 1 là 45km/h, xe 2 là 45+10 = 55 km/h
Bài 1/
a/ \(x=36\to A=\dfrac{2\sqrt{36}}{\sqrt{36}+3}=\dfrac{2.6}{6+3}=\dfrac{12}{9}=\dfrac{4}{3}\)
b/ \(M=A+B\)
\(\to M=\dfrac{2\sqrt x}{\sqrt x+3}+\dfrac{\sqrt x+1}{\sqrt x-3}+\dfrac{11\sqrt x-3}{x-9}\)
\(=\dfrac{2\sqrt x(\sqrt x-3)}{(\sqrt x+3)(\sqrt x-3)}+\dfrac{(\sqrt x+1)(\sqrt x+3)}{(\sqrt x-3)(\sqrt x+3)}+\dfrac{11\sqrt x-3}{(\sqrt x-3)(\sqrt x+3)}\)
\(=\dfrac{2x-6\sqrt x+x+4\sqrt x+3+11\sqrt x-3}{(\sqrt x+3)(\sqrt x-3)}\)
\(=\dfrac{3x+9\sqrt x}{(\sqrt x+3)(\sqrt x-3)}\)
\(=\dfrac{3\sqrt x(\sqrt x+3)}{(\sqrt x+3)(\sqrt x-3)}\)
\(=\dfrac{3\sqrt x}{\sqrt x-3}\)
c/ Đặt \(\dfrac{3\sqrt x}{\sqrt x-3}=t\)
\(M=M^4\)
\(\to t=t^4\)
\(\leftrightarrow t-t^4=0\)
\(\leftrightarrow t(1-t^3)=0\)
\(\leftrightarrow t(1-t)(1+t+t^2)=0\)
\(\leftrightarrow t=0\quad or\quad 1-t=0\quad or\quad t^2+t+1=0\)
\(\leftrightarrow t=0\quad or\quad t=1\quad or\quad \bigg(t+\dfrac{1}{2}\bigg)^2+\dfrac{3}{4}=0(\rm vô\,\, lý)\)
\(\leftrightarrow \dfrac{3\sqrt x}{\sqrt x-3}=0\quad or\quad \dfrac{3\sqrt x}{\sqrt x-3}=1\)
\(\leftrightarrow 3\sqrt x=0\quad or\quad 3\sqrt x=\sqrt x-3\)
\(\leftrightarrow \sqrt x=0\quad or\quad 2\sqrt x+3=0(\rm vô\,\, lý)\)
\(\leftrightarrow x=0\)
Vậy pt có tập nghiệm \(S=\{0\}\)
Câu 5:
Áp dụng bđt Cô-si vào các số dương có:
\(\sum\dfrac{ab}{c^2\left(a+b\right)}\ge3\sqrt[3]{\dfrac{ab}{c^2\left(a+b\right)}\cdot\dfrac{ac}{b^2\left(a+c\right)}\cdot\dfrac{bc}{a^2\left(b+c\right)}}=3\sqrt[3]{\dfrac{1}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}}=\dfrac{3}{\sqrt[3]{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}}\ge\dfrac{9}{a+b+b+c+c+a}=\dfrac{9}{2a+2b+2c}=\dfrac{9}{6}=\dfrac{3}{2}\) Dấu = xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=1\)
Câu 3
1)
a) Xét phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P)
mx - m + 1 = x2
\(\Leftrightarrow x^2-mx+m-1=0\)
(d) và (P) cắt nhau tại hai điểm phân biệt:
\(\Delta=\left(-m\right)^2-4.1.\left(m-1\right)\) > 0
\(\Leftrightarrow m^2-4m+4>0\)
\(\Leftrightarrow\left(m-2\right)^2>0\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m\ne2\\m\ne-2\end{matrix}\right.\)
Vậy \(\left[{}\begin{matrix}m\ne2\\m\ne-2\end{matrix}\right.\) thì (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt
2) Do (d) cắt (P) tại 2 điểm có hoành độ \(x_1\) và x2
=> Theo viet : \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=m\\x_1.x_2=m+1\end{matrix}\right.\)
Ta có \(x_1^2.x_2+x_2^2x_1=2\)
\(\Leftrightarrow x_1x_2\left(x_1+x_2\right)=2\)
\(\Leftrightarrow\left(m+1\right)m=2\)
\(\Leftrightarrow m^2+m=2\Leftrightarrow m^2+m-2=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m=1\\m=-2\end{matrix}\right.\) kết hợp điều kiện => m=1
Vậy m=1 là giá trị cần tìm
Bài 2
a)
Gọi vận tốc xe 1 là: x (x>0) (km/h)
=> Vận tốc xe 2 là x + 10 (km/h)
Do hai xe khởi hành cùng một lúc và sau hai giờ thì gặp nhau nên ta có phương trình:
x.1+(x+10).1 = 200
\(\Leftrightarrow x+x+10=200\)
\(\Leftrightarrow2x+10=200\)
\(\Leftrightarrow2x=190\)
\(\Leftrightarrow x=95\) (tm x>0)
Vậy vận tốc xe 1 là 95km/h, xe 2 là 95+10 = 105 km/h
b) Ta có thể tích hình trụ = \(\pi.R^2.h=16\pi\left(cm^3\right)\)
mà đường kính đáy và độ dài trục bằng nhau => h=2R
=> \(\pi R^22R=16\pi\)
=> \(R=2\) (cm) => h = 4cm
Diện tích vật liệu cần dùng để làm hộp sữa là :
2 \(\pi\).R x(R + h) = 24\(\pi\) cm2
Câu 2/
a/ Gọi vận tốc xe đi từ A là x (km/h, x>0)
Vận tốc xe đi từ B là \(x+10\) (km/h)
Vì sau hai giờ thì hai xe gặp nhau và 2 xe đi ngược chiều
\(\to\) Ta có pt: \(\dfrac{200}{x+x+10}=2\)
\(\leftrightarrow 200=2(2x+10)\)
\(\leftrightarrow 200=4x+20\)
\(\leftrightarrow 180=4x\)
\(\leftrightarrow x=45\) (TM)
\(\to\) Vận tốc xe đi từ B là \(55\) (km/h)
Vậy vận tốc xe đi từ A là 45km/h, xe đi từ B là 55km/h
b/ Vì chiều cao bằng bán kính đáy
\(\to V=r^3\pi=h^3\pi=16\pi\to r=h=2,5\) (cm)
Diện tích phần mặt để làm hợp sữa là:
\(S=2\pi rh=2\pi.2,5^2=12,5\pi(cm^2)\)
Câu 3/
1/ a/ Pt hoành độ giao điểm:
\(x^2=mx-m+1\)
\(\leftrightarrow x^2-mx+m-1=0\)
Hai đường thẳng cắt nhau tại 2 điểm phân biệt
\(\to\Delta=(-m)^2-4.1.(m-1)=m^2-4m+4>0\)
\(\to (m-2)^2>0\)
\(\to m-2>0\quad or\quad m-2<0\)
\(\to m>2\quad or\quad m<2\)
b/ Theo Viét
\(\begin{cases}x_1+x_2=m\\x_1x_2=m-1\end{cases}\)
\(x_1^2x_2+x_1x_2^2=2\)
\(\leftrightarrow x_1x_2(x_1+x_2)=2\)
\(\leftrightarrow m(m-1)=2\)
\(\leftrightarrow m^2-m-2=0\)
\(\leftrightarrow m^2-2m+m-2=0\)
\(\leftrightarrow m(m-2)+(m-2)=0\)
\(\leftrightarrow (m+1)(m-2)=0\)
\(\leftrightarrow m+1=0\quad or\quad m-2=0\)
\(\leftrightarrow m=-1(TM)\quad or\quad m=2(KTM)\)
Vậy \(m=-1\) thỏa mãn hệ thức
2/ \(\begin{cases}\dfrac{3}{x}+y=5\\\dfrac{2}{x}-2y=-2\end{cases}\)
\(\leftrightarrow \begin{cases}\dfrac{6}{x}+2y=10\\\dfrac{6}{x}-6y=-6\end{cases}\)
\(\leftrightarrow \begin{cases}\dfrac{6}{x}+2y=10\\\dfrac{6}{x}+2y-8y=-6\end{cases}\)
\(\leftrightarrow \begin{cases}\dfrac{6}{x}+2y=10\\\10-8y=-6\end{cases}\)
\(\leftrightarrow \begin{cases}\dfrac{6}{x}+2y=10\\y=2\end{cases}\)
\(\leftrightarrow \begin{cases}\dfrac{6}{x}+4=10\\y=2\end{cases}\)
\(\leftrightarrow \begin{cases}x=1\\y=2\end{cases}\)
Vậy hệ pt có nghiệm duy nhất \( (x,y)=(1;2)\)
