Like và follow fanpage để cập nhật những tin tức mới nhất về cuộc thi nha. Các bạn hãy giúp đỡ chúng mình phát triển cuộc thi :>
Cuộc thi Toán Tiếng Anh VEMC | Facebook
Nếu bạn muốn đề xuất câu hỏi xuất hiện trong chuyên mục này các bạn hãy gửi qua form để nhận được sự ưu tiên giúp đỡ đến từ cộng đồng :> Chuyên mục đang cần câu hỏi hay, mong các bạn ủng hộ :>
[Tiền sự kiện 1] Thử sức trí tuệ - Google Biểu mẫu
-------------------------------------------------------------------
[Toán.C22 _ 21.1.2021]
Cho tam giác ABC không tù. Chứng minh rằng:
\(\dfrac{sinB.sinC}{sinA}+\dfrac{sinC.sinA}{sinB}+\dfrac{sinA.sinB}{sinC}\ge\dfrac{5}{2}\)
[Toán.C23 _ 21.1.2021]
Trích Vietnam TST, 2001: Cho a,b,c > 0 và 21ab + 2bc + 8ca \(\le12\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P=\dfrac{1}{a}+\dfrac{2}{b}+\dfrac{3}{c}\).
[Toán.C24 _ 21.1.2021]
Trích VEMC, 2018:
Hai nhà toán học người Nga gặp nhau trên một chuyến bay.
"Nếu tôi nhớ không nhầm thì ông có ba cậu con trai," nhà toán học tên là Ivan nói. "Đến nay chúng bao nhiêu tuổi rồi?"
"Tích số tuổi của chúng là 36," nhà toán học tên là Igor đáp, "và tổng số tuổi của chúng đúng bằng ngày hôm nay."
"Tôi xin lỗi," Ivan nói sau một phút suy nghĩ, "nhưng từ những thông tin đó tôi vẫn không thể biết được tuổi của chúng."
"À tôi quên không kể cho ông, đứa con nhỏ tuổi nhất của tôi có mái tóc màu đỏ."
"A, giờ thì rõ rồi," Ivan nói. "Giờ tôi đã biết chính xác ba cậu con trai của ông bao nhiêu tuổi."
Làm sao mà Ivan biết được?
[Toán.C25 _ 21.1.2021]
Một chuyên gia về xác suất nhờ một người tung đồng xu 200 lần rồi ghi lại kết quả. Khi người đó đưa kết quả cho anh ta, vừa nhìn một cái đã biết người kia bịa ra chứ không phải thật sự tung cả ngần ấy lần. Bạn có biết anh ta làm thế nào không?
[Toán.C23 _ 21.1.2021]
Đặt \(a=\dfrac{1}{x};b=\dfrac{1}{y};c=\dfrac{1}{z}\)
Giả thiết trở thành \(2x+9y+21z\le12xyz\)
\(\Leftrightarrow3z\ge\dfrac{2x+8y}{4xy-7}\)
Áp dụng BĐT Cosi và BĐT BSC:
Khi đó \(P=x+2y+3z\)
\(\ge x+2y+\dfrac{2x+8y}{4xy-7}\)
\(=x+\dfrac{11}{2x}+\dfrac{1}{2x}\left(4xy-7+\dfrac{4x^2+28}{4xy-7}\right)\)
\(\ge x+\dfrac{11}{2x}+\dfrac{1}{x}\sqrt{4x^2+28}\)
\(=x+\dfrac{11}{2x}+\dfrac{3}{2}\sqrt{\left(1+\dfrac{7}{9}\right)\left(1+\dfrac{7}{x^2}\right)}\)
\(\ge x+\dfrac{11}{2x}+\dfrac{3}{2}\left(1+\dfrac{7}{3x}\right)\)
\(\ge x+\dfrac{9}{x}+\dfrac{3}{2}\ge\dfrac{15}{2}\)
\(\Rightarrow minP=\dfrac{15}{2}\Leftrightarrow a=\dfrac{1}{3};b=\dfrac{4}{5};c=\dfrac{3}{2}\)
Mấy câu có thêm dòng trích từ mấy đề quốc gia, quốc tế gì gì đó đâm ra nản luôn.
C23 cách khác: Điểm rơi \(a=\dfrac{1}{3};b=\dfrac{4}{5};c=\dfrac{3}{2}\) nên ta đặt \(a=\dfrac{1}{3}x;b=\dfrac{4}{5}y;c=\dfrac{3}{2}z\).
Ta có \(21ab+2bc+8ca\le12\Leftrightarrow\dfrac{28}{5}xy+\dfrac{12}{5}yz+4zx\le12\Leftrightarrow7xy+3yz+5zx\le15\).
Áp dụng bất đẳng thức AM - GM: \(15\ge7ab+3bc+5ca\ge15\sqrt[15]{\left(xy\right)^7.\left(yz\right)^3.\left(zx\right)^5}=15\sqrt[15]{x^{12}y^{10}z^8}\)
\(\Rightarrow x^6y^5z^4\le1\);
\(P=\dfrac{1}{a}+\dfrac{2}{b}+\dfrac{3}{c}=3x+\dfrac{5}{2}y+2z=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{6}{x}+\dfrac{5}{y}+\dfrac{4}{z}\right)\ge\dfrac{1}{2}.15\sqrt[15]{\left(\dfrac{1}{x}\right)^6.\left(\dfrac{1}{y}\right)^5.\left(\dfrac{1}{z}\right)^4}=\dfrac{15}{2}.\sqrt[15]{\dfrac{1}{x^6y^5z^4}}\ge\dfrac{15}{2}\).
Đẳng thức xảy ra khi \(x=y=z=1\) tức \(a=\dfrac{1}{3};b=\dfrac{4}{5};c=\dfrac{3}{2}\).Vậy Min P = \(\dfrac{15}{2}\) khi \(a=\dfrac{1}{3};b=\dfrac{4}{5};c=\dfrac{3}{2}\).
P/s: Lời giải nhìn có vẻ đơn giản nhưng muốn tìm điểm rơi thì phải dùng bđt AM - GM suy rộng.
Giả sử $P$ đạt Min tại $a=x,b=y,c=z.$ Khi đó: \(\dfrac{a}{x}=\dfrac{b}{y}=\dfrac{c}{z}=1\); \(21xy+2yz+8zx=12\) $(\ast)$
Ta có:\(12=21ab+2bc+8ca=21xy.\left(\dfrac{ab}{xy}\right)+2yz\cdot\left(\dfrac{bc}{yz}\right)+8zx\cdot\left(\dfrac{ca}{zx}\right)\)
\(\ge\left(21xy+2yz+8zx\right)\sqrt[\left(21xy+2yz+8zx\right)]{\left(\dfrac{ab}{xy}\right)^{21xy}\cdot\left(\dfrac{bc}{yz}\right)^{2yz}\cdot\left(\dfrac{ca}{zx}\right)^{8zx}}\quad\)
\(=\left(21xy+2yz+8zx\right)\sqrt[\left(21xy+2yz+8zx\right)]{\left(\dfrac{a}{x}\right)^{21xy+8zx}\cdot\left(\dfrac{b}{y}\right)^{21xy+2yz}\cdot\left(\dfrac{c}{z}\right)^{2yz+8zx}}\quad\left(1\right)\quad\)
Lại có:
\(P=\dfrac{1}{a}+\dfrac{2}{b}+\dfrac{3}{c}=\dfrac{1}{x}\cdot\dfrac{x}{a}+\dfrac{2}{y}\cdot\dfrac{y}{b}+\dfrac{3}{z}\cdot\dfrac{z}{c}\)
\(\ge\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{2}{y}+\dfrac{3}{z}\right)\sqrt[\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{2}{y}+\dfrac{3}{z}\right)]{\left(\dfrac{x}{a}\right)^{\dfrac{1}{x}}\cdot\left(\dfrac{y}{b}\right)^{\dfrac{2}{y}}\cdot\left(\dfrac{z}{x}\right)^{\dfrac{3}{z}}}\quad\left(2\right)\)
\(=\left(21xy+2yz+8zx\right)\sqrt[\left(21xy+2yz+8zx\right)]{\left(\dfrac{a}{x}\right)^{21xy+8zx}\cdot\left(\dfrac{b}{y}\right)^{21xy+2yz}\cdot\left(\dfrac{c}{z}\right)^{2yz+8zx}}\quad\left(1\right)\quad\)
Từ $(1)$ và $(2)$ rõ ràng cần chọn $x,y,z$ sao cho:
\(\dfrac{{\left( {21{\mkern 1mu} xy + 8{\mkern 1mu} zx} \right)}}{{\dfrac{1}{x}}} = {\mkern 1mu} \dfrac{{\left( {21{\mkern 1mu} xy + 2{\mkern 1mu} yz} \right)}}{{\dfrac{2}{y}}} = \dfrac{{\left( {2yz + 8zx} \right)}}{{\dfrac{3}{z}}}\)
Suy ra \(x={\dfrac {5\,y}{12}},y=y,z={\dfrac {15\,y}{8}} \) thế ngược lại $(\ast)$ ta được $x=\dfrac{1}{3};y=\dfrac{4}{5};z=\dfrac{3}{2}$ từ đây dẫn đến lời giải của bạn Tan Thuy Hoang.
Lời giải tuy ngắn nhưng rất kỳ công:D
C24: Từng làm rồi nên nhớ:
Ta có \(36=1.1.36=1.2.18=1.3.12=1.4.9=1.6.6=2.2.9=2.3.6=3.3.4\).
Ta thấy Ivan biết tổng số tuổi của 3 cậu con trai, nhưng không biết được tuổi của họ, do đó tuổi của 3 cậu con trai nằm trong bộ ba số có tích là 36 nhưng có tổng bằng một bộ số khác.
Do đó tuổi của 3 cậu là (1, 6, 6) hoặc (2, 2, 9).
Mặt khác ông ta có đứa con nhỏ tuổi nhất, do đó số tuổi của ba cậu là (1, 6, 6).
C24.
Tuổi của 3 anh em lần lượt là a,b,c ( 0<a<b<c)a+b+c<30,a,b,c là các số nguyên dương.a×b×c=36=2^2×3^2=2×3×6Tuổi 3 anh em là 2, 3, 6
