Nếu bạn muốn đề xuất câu hỏi xuất hiện trong chuyên mục này các bạn hãy gửi qua form:
[Tiền sự kiện 1] Thử sức trí tuệ - Google Biểu mẫu
Hi vọng chuyên mục đầu tiên của chuỗi cuộc thi sẽ mang lại niềm vui và trải nghiệm thú vị cho các bạn. Những câu hỏi được chọn sẽ khả năng cao được đưa lên chuyên mục Câu hỏi hay. Tuy nhiên, với mục đích hỏi bài và trao đổi bài tập, các bạn hãy gửi câu hỏi lên hoc24 và cùng cộng đồng giải nhé!
-------------------------------------------------------------------
[Toán.C2 _ 10.1.2021]
Người biên soạn câu hỏi: No name
Cho x, y, z > 0 thỏa mãn \(x^2+y^2+z^2+2xyz=1\). Tìm max:
P = xy + yz + zx - xyz.
[Toán.C3_10.1.2021]
Người biên soạn câu hỏi: Võ Phan Phương Ngọc
Cho tập hợp A = {-1,-2,...,-n}. Với mỗi tập con khác rỗng của A, chúng ta lập tích của các phần tử trong tập đó. Hỏi tổng của tất cả các tích thu được bằng bao nhiêu?
------------------------------------------------------------------
Like và follow fanpage để cập nhật những tin tức mới nhất về cuộc thi nha :>
Cuộc thi Toán Tiếng Anh VEMC | Facebook
Vì C2 mình gửi nên mình làm câu 3:
Gọi S(n) là tổng tất cả các tích thu được.
Ta chứng minh bằng quy nạp rằng S(n) = -1 với mọi giá trị của n là số tự nhiên khác 0.
Thật vây, ta có S(1) = -1
Giả sử ta đã có S(n) = -1.
Ta cần chứng minh S(n + 1) = -1.
Ta thấy sau khi thêm tập hợp A = {-1; -2;,,,; -n} một phần tử -(n + 1), tập hợp A tăng thêm số tập hợp con bằng số tập hợp con của tập hợp A lúc đầu.
Do đó: \(S\left(n+1\right)-S\left(n\right)=S\left(n\right).\left[-\left(n+1\right)\right]-\left(n+1\right)=n+1-n-1=0\Rightarrow S\left(n+1\right)=S\left(n\right)=-1\).
Vậy ta có đpcm.
Toán C.2 :
Ta có : \(P=xy+yz+zx-xyz\Leftrightarrow2P=2.\left(xy+yz+zx\right)-2xyz\)
\(=2.\left(xy+yz+zx\right)+x^2+y^2+z^2-1\)
\(=\left(x+y+z\right)^2-1\)
Vì : \(x^2+y^2+z^2+2xyz=1\)
\(\Rightarrow z^2+2xyz=1-x^2-y^2\)
\(\Rightarrow z^2+2xyz+x^2y^2=1-x^2-y^2+x^2y^2\)
\(\Rightarrow\left(z+xy\right)^2=\left(1-x^2\right)\left(1-y^2\right)\le\left(\dfrac{2-x^2-y^2}{2}\right)^2\)
\(\Rightarrow z+xy\le\dfrac{2-x^2-y^2}{2}\Rightarrow z\le\dfrac{2-x^2-y^2-2xy}{2}=\dfrac{2-\left(x+y\right)^2}{2}\)
Có : \(\left(x+y-1\right)^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2-2.\left(x+y\right)+1\ge0\)
\(\Leftrightarrow x+y\le\dfrac{\left(x+y\right)^2+1}{2}\)
\(\Leftrightarrow x+y+z\le\dfrac{\left(x+y\right)^2+1}{2}+\dfrac{2-\left(x+y\right)^2}{2}=\dfrac{3}{2}\)
\(\Rightarrow\left(x+y+z\right)^2-1\le\dfrac{5}{4}\)
\(\Rightarrow2P\le\dfrac{5}{4}\Rightarrow P\le\dfrac{5}{8}\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=z=\dfrac{1}{2}\)
E ms học code nên e hay tìm các trang toán để lập code giải ạ. Ad có thể xem giúp e bài code này dc k ạ
#include<iostream> using namespace std; int main() {int n; cin >> n;int tong = 0, tich = 1, a[n];for(int i = 0; i <= n - 1; i ++) a[i] = -(i + 1);for(int i = 1; i <= n; i ++) {for(int j = 0; j <= n - i; j ++) {tich = 1;for(int k = j; k <= k + i - 1; k ++) {tich = tich * a[j];}tong = tong + tich;}}cout << tong;return 0;}
Toán C3.
Xét \(S = \left\{a_1, a_2, ..., a_n\right\}\), \(P\left(x\right)=\left(a_1.x+1\right)\left(a_2.x+1\right)...\left(a_n.x+1\right)-1\)
Khi đó hệ số của \(x^k\) là tổng tất cả các tích các phần tử của tập con \(k\) phần tử của \(S\), Do đó \(P(1) = \sum\limits_{A \subset S} \prod\limits_{x \in A} x\)
Áp dụng cho \(S = \left\{-1, -2, ..., -n\right\}\) thì kết quả cần tìm là \(P(1) = (-1+1)(-2+1)...(-n+1)-1 = -1\)
Toán C2.
Đặt \(a = 2x, b = 2y, c = 2z\) thì \(a^2 + b^2 + c^2 + abc = 4\)
Theo nguyên lý Dirichlet, giả sử \((b-1)(c-1) \geqslant 0 \Leftrightarrow bc + 1 \geqslant b + c\), ta có:
\(4 = a^2 + b^2 + c^2 + abc \geqslant a^2 + 2bc + abc \Rightarrow (2-a)(2+a) \geqslant bc(a+2) \Rightarrow 2 \geqslant a + bc\)
Ta có: \(8P = 2a(b + c) + 2bc - abc \leqslant 2a(bc + 1) + 2bc - abc = abc + 2(a + bc) \leqslant \dfrac{(a + bc)^2}{4} + 4 \leqslant 5\)
Vì vậy mà \(P \leqslant \dfrac{5}{8}\), đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(a = b = c = 1 \Leftrightarrow x = y = z = \dfrac{1}{2}\)
