Bạn lấy một cái quyển vở đặt trên bàn và mặt sau của quyển vở đang úp xuống mặt bàn, bạn lật lại thì mặt trước của quyển vở úp xuống bàn, đó là phép lật mặt

Toán C2.

Đặt \(a = 2x, b = 2y, c = 2z\) thì \(a^2 + b^2 + c^2 + abc = 4\)

Theo nguyên lý Dirichlet, giả sử \((b-1)(c-1) \geqslant 0 \Leftrightarrow bc + 1 \geqslant b + c\), ta có:

\(4 = a^2 + b^2 + c^2 + abc \geqslant a^2 + 2bc + abc \Rightarrow (2-a)(2+a) \geqslant bc(a+2) \Rightarrow 2 \geqslant a + bc\)

Ta có: \(8P = 2a(b + c) + 2bc - abc \leqslant 2a(bc + 1) + 2bc - abc = abc + 2(a + bc) \leqslant \dfrac{(a + bc)^2}{4} + 4 \leqslant 5\)

Vì vậy mà \(P \leqslant \dfrac{5}{8}\), đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(a = b = c = 1 \Leftrightarrow x = y = z = \dfrac{1}{2}\)

Toán C3.

Xét \(S = \left\{a_1, a_2, ..., a_n\right\}\), \(P\left(x\right)=\left(a_1.x+1\right)\left(a_2.x+1\right)...\left(a_n.x+1\right)-1\) 

Khi đó hệ số của \(x^k\) là tổng tất cả các tích các phần tử của tập con \(k\) phần tử của \(S\), Do đó \(P(1) = \sum\limits_{A \subset S} \prod\limits_{x \in A} x\)

Áp dụng cho \(S = \left\{-1, -2, ..., -n\right\}\) thì kết quả cần tìm là \(P(1) = (-1+1)(-2+1)...(-n+1)-1 = -1\)