Gọi giao điểm của AC và MN là Q
Từ Q kẻ đường thẳng song song với AD cắt KN tại F
Ta có: AD=BC(do AD và BC là hai cạnh đối trong hình chữ nhật ABCD)
mà \(AM=MD=\frac{AD}{2}\)(do M là trung điểm của AD)
và \(BN=NC=\frac{BC}{2}\)(do N là trung điểm của BC)
nên AM=MD=BN=NC
Xét ΔAQM có
\(\widehat{MAQ}+\widehat{AMQ}+\widehat{AQM}=180độ\)(định lí tổng 3 góc trong một tam giác)(1)
Xét ΔQNC có
\(\widehat{QNC}+\widehat{NCQ}+\widehat{NQC}=180độ\)(định lí tổng 3 góc trong một tam giác)(2)
Từ (1) và (2) suy ra
\(\widehat{MAQ}+\widehat{AMQ}+\widehat{AQM}=\widehat{QNC}+\widehat{NCQ}+\widehat{NQC}\)
mà \(\widehat{AQM}=\widehat{NQC}\)(hai góc đối đỉnh)
và \(\widehat{MAQ}=\widehat{NCQ}\)(hai góc so le trong,AD//BC)
nên \(\widehat{AMQ}=\widehat{QNC}\)
Xét ΔAMQ và ΔCNQ có
\(\widehat{AMQ}=\widehat{QNC}\)(cmt)
AM=NC(cmt)
\(\widehat{MAQ}=\widehat{NCQ}\)(hai góc so le trong,AD//BC)
Do đó: ΔAMQ=ΔCNQ(g-c-g)
⇒MQ=QN(hai cạnh tương ứng)
Ta có: ABCD là hình chữ nhật(gt)
⇒ABCD cũng là hình thang có hai đáy là AB và CD
Xét hình thang ABCD(AB//CD) có
M là trung điểm của AD(gt)
N là trung điểm của BC(gt)
Do đó: MN là đường trung bình của hình thang ABCD)
⇒MN//AB//CD và \(MN=\frac{AB+CD}{2}\)(định lí 4 về đường trung bình của hình thang)
Ta có: FQ//AD(theo cách vẽ)
AD⊥AB(ABCD là hình chữ nhật)
Do đó: FQ⊥AB(định lí 2 về quan hệ giữa vuông góc và song song)
Ta có: MN//AB(cmt)
FQ⊥AB(cmt)
Do đó: FQ⊥MN(định lí 2 về quan hệ giữa vuông góc và song song)
Ta có: QM=QN(cmt)
mà M,Q,N thẳng hàng(do \(FQ\cap MN=\left\{O\right\}\))
nên Q là trung điểm của MN
Xét ΔFMN có
FQ là đường trung tuyến ứng với cạnh MN(do Q là trung điểm của FN)
FQ là đường cao ứng với cạnh MN(FQ⊥MN)
Do đó: ΔFMN cân tại F(định lí tam giác cân)
⇒\(\widehat{FMQ}=\widehat{FNQ}\)(a)
Xét ΔQPC có ME//PC(MN//DC,E∈MN,P∈DC)
nên \(\frac{QM}{MP}=\frac{QE}{EC}\)(định lí Talet)(3)
Xét ΔQNC có EF//NC(do EF//BC,N∈BC)
nên \(\frac{QE}{EC}=\frac{QF}{FN}\)(định lí Talet)(4)
Từ (3) và (4) suy ra: \(\frac{QM}{MP}=\frac{QF}{FN}\)
Xét ΔQPN có
\(\frac{QM}{MP}=\frac{QF}{FN}\)(cmt)
nên MF//PN(định lí Talet đảo)
⇒\(\widehat{FMN}=\widehat{MNE}\)(hai góc so le trong)(b)
Từ (a) và (b) suy ra \(\widehat{FNM}=\widehat{MNE}\)
mà tia NM nẳm giữa tia NK,NE
nên NM là tia phân giác của \(\widehat{KNE}\)(đpcm)
phải là tia DC mới được nhé bạn
Hình vẽ đây nhé:
