Question

Gọi S là tập hợp tất cá giá trị nguyên của tham số m để phương trình 3\(\sqrt{sinx+cosx+2}\) +\(\sqrt{2}\)sin( x+\(\dfrac{\pi}{4}\)) +m-1=0 có nghiệm . Số phần tử của S là

Answer 1

\(\Leftrightarrow3\sqrt{\sqrt{2}sin\left(x+\dfrac{\pi}{4}\right)+2}+\sqrt{2}sin\left(x+\dfrac{\pi}{4}\right)+m-1=0\)

Đặt \(\sqrt{\sqrt{2}sin\left(x+\dfrac{\pi}{4}\right)+2}=t\Rightarrow t\in\left[2-\sqrt{2};2+\sqrt{2}\right]\)

\(\Rightarrow3t+t^2-2+m-1=0\)

\(\Leftrightarrow m=-t^2-3t+3\)

Xét hàm \(f\left(t\right)=-t^2-3t+3\) trên \(D=\left[2-\sqrt{2};2+\sqrt{2}\right]\)

\(-\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{3}{2}\notin D\)

\(f\left(2-\sqrt{2}\right)=-9+7\sqrt{2}\) ; \(f\left(2+\sqrt{2}\right)=-9-7\sqrt{2}\)

\(\Rightarrow-9-7\sqrt{2}\le m\le-9+7\sqrt{2}\)

S có 19 phần tử